WikiSort.ru - Не сортированное

Скалярная кривизна R — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором:

${\displaystyle R\,=g^{\mu \nu }\,R_{\mu \nu }}$

Таким образом, скалярная кривизна есть след тензора Риччи.

Уравнения гравитационного поля

В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объему от скалярной кривизны:

${\displaystyle S_{G}=\varkappa \int \limits _{M}R{\sqrt {-g}}d\Omega }$

Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,R}$ ^[1].

Свойства

• Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия.
  • Интеграл по гауссовой кривизне равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на ${\displaystyle 2\pi }$ — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне.

См. также

• Кривизна римановых многообразий
• Задача Ямабе

Примечания

1. ↑ Научная Сеть >> Теория относительности для астрономов