WikiSort.ru - Не сортированное

Основные кинематические понятия

Материальная точка  — тело, размерами которого по сравнению с характерными расстояниями данной задачи можно пренебречь. Так Землю можно считать Материальной Точкой (М. Т.) при изучении её движения вокруг Солнца, пулю можно считать М. Т. при её движении в поле тяжести Земли, но нельзя считать таковой при учете её вращательного движения в стволе винтовки. При поступательном движении в ряде случаев при помощи понятия М. Т. можно описывать и изменение положения более крупных объектов. Так, например, тепловоз, проходящий расстояние 1 метр, может считаться М. Т., поскольку его ориентация относительно системы координат в процессе движения является фиксированной и не влияет на постановку и ход решения задачи.

Радиус-вектор — вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве: ${\displaystyle {\vec {r}}=\{r_{1},r_{2},...,r_{n}\}}$ . Здесь ${\displaystyle r_{1},r_{2},...,r_{n}}$  — координаты радиус-вектора. Геометрически изображается вектором, проведенным из начала координат к материальной точке. Зависимость радиус-вектора (или его координат ${\displaystyle r_{i}=r_{i}(t)}$ ) от времени ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(t)}$ называется законом движения.

Траектория — Годограф радиус-вектора, то есть — воображаемая линия, описываемая концом радиус-вектора в процессе движения. Иными словами, траектория — это линия вдоль которой движется материальная точка. При этом закон движения выступает как уравнение, задающее траекторию параметрически. Длину участка траектории между начальным и конечным моментами времени часто называют пройденным расстоянием, длиной пути или вульгарно — путём и обозначают буквой S. При таком описании движения S выступает в качестве обобщенной координаты, а законы движения в этом случае записывается в виде S = S(t) и аналогичны соответствующим законам для координат. Например закон равноускоренного криволинейного движения может быть записан в виде:

${\displaystyle S=S_{0}+v_{S_{0}}t+{\frac {a_{S}t^{2}}{2}}}$ ,

Где : ${\displaystyle v_{S_{0}}=|{\vec {v}}_{0}|}$  — модуль начальной скорости, а ${\displaystyle a_{S}=a_{\tau }}$  — Тангенциальное ускорение.

Описание движения при помощи понятия траектории — один из ключевых моментов классической механики . В квантовой механике движения носит бестраекторный характер, а значит само понятие траектория теряет смысл.

Основные кинематические величины

Перемещение — векторная физическая величина, равная разности радиус-векторов в конечный и начальный моменты времени:

${\displaystyle \Delta {\vec {r}}(t_{2},t_{1})={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})}$ .

Иными словами, перемещение — это приращение радиус-вектора за выбранный промежуток времени.

Средняя скорость — векторная физическая величина равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение:

${\displaystyle {\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}$ .

Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиус-вектора по времени:

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {r}}(t)}{dt}}}$ .

Характеризует быстроту перемещения материальной точки. Мгновенную скорость можно определить как предел средней скорости при устремлении к нулю промежутка времени, на котором она вычисляется:

${\displaystyle {\vec {v}}(t_{1})=\lim _{t_{2}\rightarrow t_{1}}{\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_{2})=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}(t)}{\Delta t}}}$ .

Единица измерения скорости в системе СИ— м/с, в системе СГС — см/с. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, равная второй производной от радиус-вектора по времени и, соответственно, первой производной от мгновенной скорости по времени:

${\displaystyle {\vec {a}}(t)={\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}(t)}{dt^{2}}}}$ .

Характеризует быстроту изменения скорости. Единица ускорения в системе СИ— м/с², в системе СГС — см/с². В случае движения в плоскости вектор ускорения можно разложить по сопутствующему базису: на вектор нормального и тангенциального ускорения:

${\displaystyle {\vec {a}}(t)=a_{n}(t){\vec {n}}+a_{\tau }(t){\vec {\tau }}}$ .

Здесь ${\displaystyle {\vec {n}}}$  — единичный вектор нормали, ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$  — единичный вектор касательной. Величина ${\displaystyle a_{n}}$ называется нормальным ускорением и характеризует скорость изменения направления движения. Нормальное ускорение выражается через мгновенную скорость и радиус кривизны траектории:

${\displaystyle a_{n}(t)={\frac {v(t)^{2}}{R}}}$ .

В случае движения по окружности нормальное ускорение называется центростремительным. Как видно из предыдущей формулы, при движении по окружности с постоянной скоростью нормальное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

Величина ${\displaystyle a_{\tau }}$ называется тангенциальным ускорением и характеризует величину изменения модуля скорости:

${\displaystyle a_{\tau }={\frac {d|v|}{dt}}}$ .

Преобразования Галилея

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Если ИСО S' движется относительно ИСО S с постоянной скоростью  вдоль оси , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

${\displaystyle x'=x-ut,}$

${\displaystyle y'=y,}$

${\displaystyle z'=z,}$

${\displaystyle t'=t}$

или, используя векторные обозначения,

${\displaystyle {\vec {r'}}={\vec {r}}-{\vec {u}}t,}$

${\displaystyle t'=t}$

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

Закон равноускоренного движения

Закон равноускоренного движения получается в результате решения простейшего дифференциального уравнения вида:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=A}$

Общее решение этого уравнения дается формулой:

${\displaystyle x(t)=C_{1}+C_{2}t+{\frac {At^{2}}{2}}}$ ;

Здесь ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ — произвольные константы, соответствующие начальной координате и начальной скорости.

Движение с постоянным ускорением ${\displaystyle {\vec {a}}(t)=const}$ называют равноускоренным. Движение с постоянным ускорением подчиняется закону:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}(t)+{\vec {v_{0}}}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}}$ ;

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t}$ .

При этом уравнения движения в координатной форме имеют аналогичный вид:

${\displaystyle x(t)=x_{0}(t)+{v_{x_{0}}}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}}$ ;

${\displaystyle v_{x}(t)=v_{x_{0}}+a_{x}t}$ .

В этом случае часто говорят о равноускоренном движении, если знаки ${\displaystyle a_{x}}$ и ${\displaystyle v_{x}(t)}$ совпадают и о равнозамедленном, если ${\displaystyle a_{x}}$ и ${\displaystyle v_{x}(t)}$ имеют противоположные знаки. При этом знак каждой из величин зависит от начального выбора системы отсчета.

Частный случай равноускоренного движения — равномерное движение. В этом случае ${\displaystyle {\vec {a}}(t)=0}$ . Тогда движение описывается закону:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}(t)+{\vec {v_{0}}}t}$