WikiSort.ru - Не сортированное

Равноуско́ренное движе́ние — движение тела, при котором его ускорение ${\displaystyle {\vec {a}}}$ постоянно по модулю и направлению^[1].

Скорость при этом определяется формулой

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ — начальная скорость тела, ${\displaystyle t}$ — время. Траектория имеет вид участка параболы или прямой.

Примером такого движения является полёт камня, брошенного под углом ${\displaystyle \alpha }$ к горизонту в однородном поле силы тяжести: камень летит с постоянным ускорением ${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {g}}}$ , направленным вертикально вниз.

Частным случаем равноускоренного движения является равнозамедленное, когда векторы ${\displaystyle {\vec {v}}}$ и ${\displaystyle {\vec {a}}}$ противонаправлены, а модуль скорости равномерно уменьшается со временем (в примере с камнем реализуется для ${\displaystyle \alpha =90^{0}}$ при подъёме).

Характер равноускоренного движения

Равноускоренное движение происходит в плоскости, содержащей векторы ускорения ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и начальной скорости ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ . С учётом того, что ${\displaystyle {\vec {v}}={\rm {d}}{\vec {r}}/{\rm {d}}t}$ (здесь ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор), траектория описывается выражением

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}}$ .

На заданном интервале времени она представляет собой участок параболы, который при параллельности (то есть со- или противо- направленности) векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ превращается в отрезок прямой.

Для каждой из координат, скажем ${\displaystyle y}$ , могут быть записаны аналогичные по структуре выражения:

${\displaystyle y(t)=y_{0}+v_{0y}t+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}}$ ,

где ${\displaystyle a_{y}}$ — составляющая ускорения вдоль оси ${\displaystyle y}$ , а ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {i}}+y_{0}{\vec {j}}+z_{0}{\vec {k}}}$ — радиус-вектор материальной точки в момент ${\displaystyle t=0}$ (${\displaystyle {\vec {i}}}$ , ${\displaystyle {\vec {j}}}$ , ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — орты).

В примере с камнем ${\displaystyle x_{0}=y_{0}=z_{0}=0}$ , компоненты ускорения ${\displaystyle a_{x}=a_{z}=0}$ , ${\displaystyle a_{y}=-g}$ , начальной скорости ${\displaystyle v_{x0}=v_{0}\cos \alpha }$ , ${\displaystyle v_{y0}=v_{0}\sin \alpha }$ , ${\displaystyle v_{z0}=0}$ , при этом ${\displaystyle x(t)=v_{0x}t}$ , а значит, ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha \cdot x-g/2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha \cdot x^{2}}$ .

Перемещение и скорость

В случае равноускоренного движения любая из компонент скорости, например ${\displaystyle v_{x}}$ , зависит от времени линейно:

${\displaystyle v_{x}=v_{0x}+a_{x}t}$ .

При этом имеет место следующая связь между перемещением (${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}$ ) вдоль координаты ${\displaystyle x}$ и скоростью вдоль той же координаты:

${\displaystyle \Delta x={\frac {v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_{x}}}}$ .

Отсюда можно получить выражение для ${\displaystyle x}$ -составляющей конечной скорости тела при известных ${\displaystyle x}$ -составляющих начальной скорости и ускорения:

${\displaystyle v_{x}=\pm {\sqrt {v_{0x}^{2}+2a_{x}\Delta x}}}$ .

Если ${\displaystyle a_{x}=0}$ , то ${\displaystyle v_{x}=v_{ox}}$ , а ${\displaystyle \Delta x=v_{0x}t}$ .

Выражения для смещений ${\displaystyle \Delta y}$ , ${\displaystyle \Delta z}$ и компонент скорости вдоль координат ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ принимают точно такой же вид, как для ${\displaystyle \Delta x}$ и ${\displaystyle v_{x}}$ , но символ ${\displaystyle x}$ всюду заменяется на ${\displaystyle y}$ или ${\displaystyle z}$ .

Суммарно, по теореме Пифагора, перемещение составит

${\displaystyle |\Delta {\vec {r}}|={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}}$ ,

а модуль конечной скорости находится как

${\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$ .

Равноускоренное движение не может происходить неограниченно долго: это означало бы, что, начиная с какого-то момента времени ${\displaystyle t}$ , модуль скорости тела ${\displaystyle |{\vec {v}}|}$ превысит величину скорости света в вакууме ${\displaystyle c}$ , что исключается теорией относительности.

Теорема о кинетической энергии точки

Формула перемещения при равноускоренном движении используется при доказательстве теоремы о кинетической энергии. Для этого необходимо перенести ускорение в левую часть и домножить обе части на массу тела:

${\displaystyle ma_{x}\Delta x={\frac {mv_{x}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0x}^{2}}{2}}}$ .

Записав аналогичные соотношения для координат ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ и просуммировав все три равенства, получим соотношение:

${\displaystyle {\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {r}}={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0}^{2}}{2}}}$ .

Слева стоит работа постоянной равнодействующей силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ , а справа — разность кинетических энергий в конечный и начальный моменты движения. Полученная формула представляет собой математическое выражение теоремы о кинетической энергии точки для случая равноускоренного движения^[2].

Криволинейное равноускоренное движение

Криволинейным равноускоренным (равнопеременным) называется движение по любой кривой, при котором составляющая ускорения, параллельная скорости, является постоянной. Такое движение не подпадает под определение равноускоренного, но в математическом плане может быть рассмотрено аналогично.

В этом случае вводится обобщённая координата ${\displaystyle S}$ , часто называемая путём. Эта координата соответствует длине пройденной траектории (длине дуги кривой). Таким образом, формула приобретает вид:

${\displaystyle \Delta S={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a_{\tau }}}}$ ,

где ${\displaystyle a_{\tau }}$ — тангенциальное ускорение, которое «отвечает» за изменение модуля скорости тела. Для скорости получаем:

${\displaystyle v=\pm {\sqrt {v_{0}^{2}+2a_{\tau }\Delta S}}}$ .

При ${\displaystyle a_{\tau }=0}$ имеем движение с постоянной по модулю скоростью.

См. также

• Релятивистски равноускоренное движение

Примечания