WikiSort.ru - Не сортированное

Задача о пушечных ядрах (англ. cannonball problem) — задача о нахождении числа пушечных ядер, которые можно уложить и в один слой в форме квадрата, и в форме пирамиды с квадратом в основании, то есть о нахождении квадратных чисел, также являющихся квадратными пирамидальными числами. Нахождение этого числа сводится к решению диофантова уравнения $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ или ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ . Уравнение имеет два решения: $N=1$ и $M=1$ , то есть одно пушечное ядро, и $N=24$ и $M=70$ , то есть 4900 пушечных ядер.

История задачи

Вопросы укладки пушечных ядер интересовали уже сэра Уолтера Рэли и его современника Томаса Хэрриота^[1], однако в приведённой выше форме она была сформулирована в 1875 году Эдуаром Люка, предположившим, что кроме $N=1$ и $N=24$ других решений не существует^[2]. Частичные доказательства были предложены Море-Бланом (1876)^[3] и самим Люка (1877)^[4]. Первое полное доказательство было предложено Уотсоном (1918)^[5]; доказательство использовало эллиптические функции^[6]. Ещё одно доказательство было предложено Люнггреном (англ.) (1952)^[7] с использованием уравнения Пелля^[8]. Доказательства с использованием только элементарных функций были предложены Ма (1985)^[9] и Энглином (1990)^[10]^[6].

Доказательства

Доказательство Уотсона

Доказательство Уотсона^[5] основано на наблюдении, что из трёх чисел $N$ , $N+1$ и $2N+1$ одно должно делиться на 3; и либо $N$ , либо $N+1$ должно быть чётным; и что все остальные множители должны быть квадратами. Тем самым возможны шесть вариантов:

$N=3a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=3b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=3c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=6b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=3c^{2}.$

Однако, поскольку $2b^{2}$ при делении на 3 может иметь только остатки 0 или 2, первый вариант приводит к противоречию. Аналогичным образом можно исключить второй, третий и четвёртый варианты.

Пятый вариант приводит к решению $N=24$ . Действительно, $N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2}$ возможно только при нечётном $c$ , и $(c-1)(c+1)=12a^{2}$ , то есть, существуют целые числа $d$ и $e$ , такие что ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a=de$ или ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a=de$ . Однако, ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a=de$ приводит к противоречию $3e^{2}-d^{2}\equiv 1{\pmod {3}}$ . Следовательно, ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a=de$ , то есть, $c-1=6d^{2},\ c+1=2e^{2}$ и $c+1=2e^{2},\ c^{2}+1=2b^{2}$ . Как показано Жероно, $c=1$ и $c=7$ являются единственными решениями последней системы уравнений^[11]. Случай $c=1$ невозможен, так как $N=0$ ; случай $c=7$ приводит к $N=24$ . Альтернативное доказательство единственности решения $N=24$ в этом случае использует то, что единственными решениями $y^{2}=8x^{4}+1$ являются $(0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3),\ (-1,\;-3)$ и приведено в главе 6.8.2 книги Коэна^[12].

Доказательство отсутствия нетривиальных решений в шестом варианте требует применения эллиптических функций. Действительно, шестой вариант можно привести к виду $2b^{2}-a^{2}=1,2b^{2}+a^{2}=3c^{2}$ . Вместо этих уравнений Уотсон рассматривает более общий случай $2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},2X^{2}+Y^{2}=3W^{2}$ и показывает, что решения этих уравнений должны удовлетворять ${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}\operatorname {sd} ((2r+1)\beta ){\sqrt {\frac {3}{2}}}$ , где $r$ — неотрицательное целое число, $\beta$ задана $\operatorname {sn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , $\operatorname {cn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , $\operatorname {dn} (\beta )={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ , а $\operatorname {sn}$ , $\operatorname {cn}$ , $\operatorname {dn}$ и $\operatorname {sd}$ — эллиптические функции Якоби. Далее Уотсон доказывает, что $Z$ численно равно единице, только если $r=0$ , то есть $X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1$ , и единственное возможное в этом случае решение $N=1$ .

Доказательство Ма

Доказательство единственности приведённых выше решений, предложенное Ма, основывается на последовательном доказательстве следующих утверждений^[12]:

Единственным чётным решением задачи об укладке ядер является $(24,70)$ . Действительно, чётность $n$ позволяет исключить варианты 1, 4 и 6 из доказательства Уотсона, варианты 2 и 3 приводят к противоречию (см. доказательство Уотсона), а $(24,70)$ — единственное решение возможное для варианта 5.
Пусть $\alpha =2+{\sqrt {3}},\beta =2-{\sqrt {3}},M_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/2$ . Тогда для неотрицательных $n$ , $M_{n}$ имеет вид $4x^{2}+3$ только для $n=2$ .
Единственным нечётным $N$ , удовлетворяющим задаче об укладке ядер, является $N=1$ . Действительно, рассуждая аналогично доказательству Уотсона, нечётное $N$ должно удовлетворять варианту 6, то есть, $N=a^{2},N+1=2b^{2},2N+1=3c^{2}$ . Поскольку для любого $x$ , $(4x+3)^{2}-8(x+1)(2x+1)=1$ и $4x+3=2(2x+1)+1$ , это также справедливо для $N$ . Подставляя $2b^{2}$ и $3c^{2}$ вместо $x+1$ и $2x+1$ , получим $(2(3c^{2})+1)^{2}-8\cdot 2b^{2}\cdot 3c^{2}=1$ , то есть, $(6c^{2}+1)^{2}-3(4bc)^{2}=1$ . Поскольку $2+{\sqrt {3}}$ порождает группу единиц $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ , существует $n\in \mathbb {Z}$ такое, что $6c^{2}+1+4bc{\sqrt {3}}=\pm (M_{n}+G_{n}{\sqrt {3}})$ , где $M_{n}$ определено выше, а $G_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/(\alpha -\beta )$ . Поскольку $M_{n}$ положительно, $M_{n}=6c^{2}+1$ и, по определению $a$ , $M_{n}=4a^{2}+3$ . По предыдущей лемме, $n=2,M_{n}=7$ , то есть $a=1$ и $n=1$ .

Подробности доказательства приведены в главе 6.8.2 книги Коэна^[12].

Обобщения задачи

За исключением тривиального случая $N=1$ не существует числа пушечных ядер, которые бы можно было уложить в виде пирамиды с квадратом в основании, и которое бы при этом одновременно являлось кубом, четвёртой или пятой степенью натурального числа^[13]. Более того, это же справедливо для укладки ядер в виде правильного тетраэдра^[13].

Другим обобщением задачи является вопрос о нахождении числа ядер, которые можно уложить в форме квадрата и усечённой пирамиды с квадратом в основании. То есть ищут $n$ последовательных квадратов (не обязательно начиная с 1), сумма которых является квадратом. Известно, что множество $S$ таких $n$ бесконечно, имеет асимптотическую плотность ноль и для $n$ , не являющихся квадратами, существует бесконечно много решений^[8]. Число $N(x)$ элементов множества $S$ , не превышающих $x$ , оценивается как $c_{1}{\sqrt {x}}<N(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln {x}}}$ . Первые элементы $n$ множества $S$ и соответствующие наименьшие значения $a$ , такие что $\sum _{k=a}^{a+n-1}k^{2}$ является квадратом, приведены в следующей таблице^[8]:

n	2	11	23	24	26	33	47	49	50	59
a	3	18	7	1	25	7	539	25	7	22

Для $n=2$ и $a=3$ решением является пифагорова тройка $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ . Для $n=24$ и $a=1$ решением является приведённое выше решение задачи об укладке пушечных ядер. Последовательность элементов множества $S$ — последовательность A001032 в OEIS^[14].

Ещё одно обобщение задачи было рассмотрено Канеко и Тачибаной^[15]: вместо вопроса о равенстве суммы первых квадратных чисел и другого квадратного числа, они рассмотрели вопрос о равенстве суммы первых многоугольных чисел и другого многоугольного числа и показали, что для любого $m\geqslant 3$ существует бесконечно много последовательностей первых $m$ -угольных чисел, таких что их сумма равна другому многоугольному числу, и что для любого $n\geqslant 3$ существует бесконечное число $n$ -угольных чисел, представимых в виде суммы последовательностей первых многоугольных чисел. Более того, Канеко и Тачибана установили, что для любого натурального $k$ выполняются следующие отношения:

Pyr_{m}(3(m-2)k-2)=G_{9k+2}((m-2)^{2}k-m+3),

Pyr_{m}(3k-1)=G_{(m-2)k+3}(3k-1),

Pyr_{m}(6k-3)=G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k-1),

G_{n}((n-2)k^{2}-3k+1)=Pyr_{3k+2}((n-2)k-2),

G_{n}(8k^{2}-6k+1)=Pyr_{3(n-2)k+2}(4k-2),

где $G_{m}(n)$ — $n$ -ое $m$ -угольное число, а $Pyr_{m}(n)$ — $n$ -ое $m$ -угольное пирамидальное число, то есть, сумма $n$ первых $m$ -угольных чисел^[15].

Связь с другими областями математики

Нетривиальное решение $N=24$ приводит к построению решётки Лича (которая, в свою очередь, связана с различными областями математики и теоретической физики — теория бозонных струн, монстр). Это делается с помощью чётной унимодулярной решётки $\mathrm {II} _{25,1}$ в 25+1-мерном псевдоевклидовом пространстве. Рассмотрим вектор этой решётки $w=(0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;23,\;24;\;70)$ . Поскольку $N=24$ и $M=70$ — решение задачи об укладке пушечных ядер, этот вектор — светоподобный, $w\cdot w=0$ , откуда, в частности, следует, что он принадлежит собственному ортогональному дополнению $w^{\bot }$ . Согласно Конвею^[16]^[17], вектор $w$ позволяет построить решётку Лича

как фактормножество $(w^{\bot }\cap \mathrm {II} _{25,1})/w$ , которое корректно определено благодаря светоподобности $w$ ;
как множество всех векторов $r\in \mathrm {II} _{25,1}$ таких, что $r\cdot r=2,r\cdot w=-1$ . Такие векторы составляют множество так называемых фундаментальных корней решётки $\mathrm {II} _{25,1}$ . Во всех случаях, когда можно таким способом построить множество фундаментальных корней чётной унимодулярной решётки в псевдоевклидовом пространстве $\mathrm {II} _{n,1}$ , всегда можно использовать целочисленный вектор с идущими подряд от ноля пространственными компонентами; а чтобы это множество образовывало решётку, этот вектор должен быть светоподобным. И поскольку $N=24$ — единственное нетривиальное решение задачи об укладке пушечных ядер, то 24-мерная решётка Лича — единственная решётка, которую можно таким способом получить из $\mathrm {II} _{n,1}$ .

См. также

Плотная упаковка равных сфер

Примечания

↑ David Darling. Cannonball Problem (неопр.). The Internet Encyclopedia of Science.
↑ Édouard Lucas. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вып. 14. — С. 336.
↑ Claude Séraphin Moret-Blanc. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1876. — Вып. 15. — С. 46—48.
↑ Édouard Lucas. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1877. — Вып. 15. — С. 429—432.
1 2 G. N. Watson. The Problem of the Square Pyramid. // Messenger Math. — 1918. — Вып. 48. — С. 1—22.
1 2 Eric W. Weisstein. Cannonball Problem (англ.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Проверено 6 июля 2017.
↑ W. Ljunggren. New solution of a problem proposed by E. Lucas // Norsk Mat. Tid.. — 1952. — Вып. 34. — С. 65—72.
1 2 3 Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K. A. Bencsath, P. R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 223—224. — 454 p. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-1928-1.
↑ D. G. Ma. An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$ . // Sichuan Daxue Xuebao. — 1985. — Вып. 4. — С. 107—116.
↑ W. S. Anglin. The Square Pyramid Puzzle. // Amer. Math. Monthly. — 1990. — Вып. 97. — С. 120—124.
↑ C.-C. Gerono. Démonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton // Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. — 1857. — Т. 16. — С. 237—240.
1 2 3 Henri Cohen. Number Theory. — 2007: Springer. — Т. Volume I: Tools and Diophantine Equations. — P. 424—427. — 653 p. — ISBN 978-0-387-49922-2.
1 2 Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore: World Scientific, 2012. — P. 98. — 456 p. — ISBN 981-4355-48-8.
↑ N. J. A. Sloane. A001032 Numbers n such that sum of squares of n consecutive integers ≥ 1 is a square. (англ.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Проверено 10 июля 2017.
1 2 Masanobu Kaneko and Katsuichi Tachibana. When is a polygonal pyramid number again polygonal? : [англ.] // Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2002. — Т. 32, № 1. — С. 149—165.
↑ J. H. Conway. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian lattice // Journal of Algebra. — 1983. — Vol. 80. — P. 159—163. — DOI:10.1016/0021-8693(83)90025-X.
↑ J. H. Conway, N. J. A. Sloane. 26. Lorentzian Forms for the Leech Lattice. 27. The Automorphism Group of the 26-Dimensional Lorentzian Lattice // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, 1999. — ISBN 978-1-4757-6568-7, 978-0-387-98585-5.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] David Darling. Cannonball Problem (неопр.). The Internet Encyclopedia of Science.

[lucas-2] Édouard Lucas. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вып. 14. — С. 336.

[mb-3] Claude Séraphin Moret-Blanc. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1876. — Вып. 15. — С. 46—48.

[lucas2-4] Édouard Lucas. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1877. — Вып. 15. — С. 429—432.

[watson-5] 1 2 G. N. Watson. The Problem of the Square Pyramid. // Messenger Math. — 1918. — Вып. 48. — С. 1—22.

[weisstein-6] 1 2 Eric W. Weisstein. Cannonball Problem (англ.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Проверено 6 июля 2017.

[ljunggren-7] W. Ljunggren. New solution of a problem proposed by E. Lucas // Norsk Mat. Tid.. — 1952. — Вып. 34. — С. 65—72.

[guy-8] 1 2 3 Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K. A. Bencsath, P. R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 223—224. — 454 p. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-1928-1.

[ma-9] D. G. Ma. An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$ . // Sichuan Daxue Xuebao. — 1985. — Вып. 4. — С. 107—116.

[anglin-10] W. S. Anglin. The Square Pyramid Puzzle. // Amer. Math. Monthly. — 1990. — Вып. 97. — С. 120—124.

[gerono-11] C.-C. Gerono. Démonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton // Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. — 1857. — Т. 16. — С. 237—240.

[cohen-12] 1 2 3 Henri Cohen. Number Theory. — 2007: Springer. — Т. Volume I: Tools and Diophantine Equations. — P. 424—427. — 653 p. — ISBN 978-0-387-49922-2.

[dezadeza-13] 1 2 Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore: World Scientific, 2012. — P. 98. — 456 p. — ISBN 981-4355-48-8.

[oeis-14] N. J. A. Sloane. A001032 Numbers n such that sum of squares of n consecutive integers ≥ 1 is a square. (англ.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Проверено 10 июля 2017.

[kt-15] 1 2 Masanobu Kaneko and Katsuichi Tachibana. When is a polygonal pyramid number again polygonal? : [англ.] // Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2002. — Т. 32, № 1. — С. 149—165.

[Conway-16] J. H. Conway. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian lattice // Journal of Algebra. — 1983. — Vol. 80. — P. 159—163. — DOI:10.1016/0021-8693(83)90025-X.

[ConwaySloane-17] J. H. Conway, N. J. A. Sloane. 26. Lorentzian Forms for the Leech Lattice. 27. The Automorphism Group of the 26-Dimensional Lorentzian Lattice // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, 1999. — ISBN 978-1-4757-6568-7, 978-0-387-98585-5.