WikiSort.ru - Не сортированное

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты ${\displaystyle E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}}$ , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Определение

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

${\displaystyle x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{C}X(z)z^{n-1}\,dz,}$

где ${\displaystyle C}$  — контур, охватывающий область сходимости ${\displaystyle X(z)}$ . Контур должен содержать все вычеты ${\displaystyle X(z)}$ .

Положив в предыдущей формуле ${\displaystyle z=re^{j\varphi }}$ , получим эквивалентное определение: ${\displaystyle x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }X(re^{j\varphi })e^{jn\varphi }\,d\varphi .}$

Область сходимости

Область сходимости ${\displaystyle D}$ представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:

${\displaystyle D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const<\infty \right\}.}$

Таблица некоторых Z-преобразований

Обозначения:

• ${\displaystyle \theta [n]=\left\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{array}}\right.}$  — функция Хевисайда.
• ${\displaystyle \delta [n]=1}$ для ${\displaystyle n=0}$ , и ${\displaystyle \delta [n]=0}$  для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).

	Сигнал, ${\displaystyle x[n]}$	Z-преобразование, ${\displaystyle X(z)}$	Область сходимости
1	${\displaystyle \delta [n]}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \forall z}$
2	${\displaystyle \delta [n-n_{0}]}$	${\displaystyle {\frac {1}{z^{n_{0}}}}}$	${\displaystyle z\neq 0}$
3	${\displaystyle \theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
4	${\displaystyle a^{n}\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
5	${\displaystyle na^{n}\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
6	${\displaystyle -a^{n}\theta [-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
7	${\displaystyle -na^{n}\theta [-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
8	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
9	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
10	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
11	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$

См. также

• Модифицированное Z-преобразование
• Преобразование Лапласа
• Ряд Лорана

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Z-Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р.Гершелем: Пер. с немец. Серия: Физико-математическая библиотека инженера. 1971. 288 с.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.