WikiSort.ru - Не сортированное

Q-аналог теоремы, тождества или выражения — это обобщение, вовлекающее новый параметр q, который возвращает исходную теорему, тождество или выражение в пределе при q → 1. Обычно математики интересуются q-аналогами, появляющимися естественным образом, а не выдумывают произвольные q-аналоги для известных результатов. Наиболее ранний q-аналог, изучавшийся детально, это базисные гипергеометрические ряды^[en], которые изучались в 19-м веке^[1].

Q-аналоги чаще всего используются в комбинаторике и в теории специальных функций. В этих условиях предел q → 1 часто формален, так как q часто дискретен (например, он может представлять степень простого числа). Q-аналоги находят приложение во многих областях, включая изучение фракталов и мультифрактальных мер и для выражения энтропии хаотических динамических систем. Связь с фракталами и динамическими системами возникает из факта, что многие фрактальные объекты имеют симметрии фуксовых групп^[en] в общем (см., например, статьи «Indra's pearls»^[en] и «Сетка Аполлония») и модулярной группы в частности. Связь проходит через гиперболическую геометрию и эргодическую теорию, где эллиптические интегралы и модулярные формы играют главную роль. Сами q-ряды^[en] тесно связаны с эллиптическими интегралами.

Q-аналоги появляются при изучении квантовых групп и в q-возмущённых супералгебрах^[en]. Связь здесь похожа на то, как теория струн строится на языке римановых поверхностей, что приводит к связи с эллиптическими кривыми, которые, в свою очередь, связаны с q-рядами^[en].

«Классическая» q-теория

Классическая q-теория начинается с q-аналогов для неотрицательных целых чисел^[2]. Равенство

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$

предполагает, что мы определяем q-аналог числа n, известный как q-скобка или q-число числа n, равным

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$

Выбор среди прочих возможностей конкретно этого q-аналога не имеет определённой причины, однако аналог возникает естественным образом в нескольких контекстах. Например, если решаем использовать обозначение [n]_q для q-аналога числа n, можно определить q-аналог факториала, который известен как q-факториал, следующим образом

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}$

Этот q-аналог появляется естественным образом в нескольких контекстах. Что примечательно, в то время как n! подсчитывает число перестановок длины n, [n]_q! подсчитывает перестановки с учётом числа инверсий^[en]. То есть, если inv(w) означает число инверсий перестановки w, а S_n — множество перестановок длины n, мы имеем

${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!}$

В частности, можно получить привычный факториал путём перехода к пределу ${\displaystyle q\rightarrow 1}$ .

Q-факториал имеет также краткое определение в терминах q-символа Похгаммера, базового строительного блока всех q-теорий:

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

От q-факториалов можно перейти к q-биномиальным коэффициентам, известным также как гауссовы коэффициентами, гауссовы многочленами или гауссовы биномиальные коэффициенты:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$

Q-степень^[en] определяется как

${\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

Тригонометрические q-функции, вместе с q-преобразованием Фурье определяется в этом же контексте.

q → 1

Обратно разрешению менять q и рассмотрению q-аналогов как отклонений можно рассматривать комбинаторный случай q = 1 как предел q-аналогов q → 1 (часто невозможно просто подставить q = 1 в формулу, так что приходится брать предел).

Это можно формализовать в поле с одним элементом^[en], где комбинаторика представляется как линейная алгебра над полем с одним элементом. Например, группы Вейля являются просто алгебраическими группами над полем с одним элементом.

Приложения в физике

Q-аналоги часто обнаруживаются в точных решениях задач многих тел. В таких случаях предел при q → 1 соответствует относительно простой динамике, т.е. без нелинейных возмущений, в то время как q < 1 даёт возможность взглянуть на сложный нелинейный режим с обратной связью.

Примером из атомной физики является модель создания молекулярного конденсата из ультрахолодного фермионного газа в условиях выметания внешнего магнитного поля с помощью резонанса Фешбаха^[3]. Этот процесс описывается моделью с q-возмущённой версией алгебры операторов SU(2) и решение описывается q-возмущёнными показательными и биномиальными распределениями.

См. также

• Список q-аналогов^[en]
• Числа Стирлинга
• Диаграмма Юнга

Примечания

Литература

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Umbral calculus", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• q-analog from MathWorld
• q-bracket from MathWorld
• q-factorial from MathWorld
• q-binomial coefficient from MathWorld

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Проверить статью на грамматические и орфографические ошибки.