WikiSort.ru - Не сортированное

Некоторые результаты Лоутона и Бойда

По определению, мера Малера рассматривается как интеграл многочлена по тору (см. также статью «Гипотеза Лемера^[en]»). Если ${\displaystyle p}$ обращается в ноль на торе ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ , то сходимость интеграла, определяющего ${\displaystyle M(p)}$ , не очевидна, но известно, что ${\displaystyle M(p)}$ сходится и равно пределу меры Малера от одной переменной^[4], что было высказано в виде гипотезы Бойдом^[en][5][6].

Пусть ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ обозначает целые числа, определим ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}}$ . Если ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ является многочленом от ${\displaystyle N}$ переменных и ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}}$ , определим многочлен ${\displaystyle Q_{r}(z)}$ от одной переменной

${\displaystyle Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}})}$

и определим ${\displaystyle q(r)}$ формулой

${\displaystyle q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}}$ ,

где ${\displaystyle H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}}$ .

Теорема (Лоутон) : Пусть ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ является многочленом от N переменных с комплексными коэффициентами. Тогда верен следующий предел (даже если условие ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$ ослаблено):

${\displaystyle \lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)}$

Предложение Бойда

Бойд предложил более общее утверждение, чем вышеприведённая теорема. Он указал на то, что классическая теорема Кронекера^[en], которая характеризует нормированные многочлены с целыми коэффициентами, корни которых лежат внутри единичного круга, можно рассматривать как описание многочленов одной переменной, мера которых в точности равна 1, и что этот результат можно распространить на многочлены нескольких переменных^[6].

Определим расширенный круговой многочлен как многочлен вида

${\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),}$

где ${\displaystyle \Phi _{m}(z)}$ — круговой многочлен степени m, ${\displaystyle v_{i}}$ — целые числа, а ${\displaystyle b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})}$ выбран минимальным, так что ${\displaystyle \Psi (z)}$ является многочленом от ${\displaystyle z_{i}}$ . Пусть ${\displaystyle K_{n}}$ — множество многочленов, являющихся произведением одночленов ${\displaystyle \pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}}$ и расширенного кругового многочлена.

Теорема (Бойд) : Пусть ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ является многочленом с целыми коэффициентами. ${\displaystyle M(F)=1}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle F}$ является элементом ${\displaystyle K_{n}}$ .

Это натолкнуло Бойда на мысль рассматривать множества значений

${\displaystyle L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},}$

и объединение ${\displaystyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}}$ . Он выдвинул далеко идущую гипотезу^[5], что множество ${\displaystyle {L}_{\infty }}$ является замкнутым подмножеством ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Из верности этой гипотезы немедленно следует верность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку из результата Смита вытекает, что ${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}}$ , Бойд позже высказал гипотезу, что

${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.}$