Определение
Пусть
— кольцо, для элементов которого определён линейный порядок, то есть задано отношение
(меньше или равно) со следующими свойствами[1].
- Рефлексивность:
.
- Транзитивность: если
и
, то
.
- Антисимметричность: если
и
, то
.
- Линейность: все элементы
сравнимы между собой, то есть либо
, либо
.
Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца:
- Если
, то для любого z:
.
- Если
и
, то
.
Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо
называется упорядоченным[2].
Примеры упорядоченных колец
- Кольцо целых чисел
- Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу
(не обязательно целому).
- Любое упорядоченное поле (например, поля рациональных и вещественных чисел) является также упорядоченным кольцом.
- Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)[3][4].
Основные свойства
Для всех
имеют место следующие свойства.
- Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если
положителен, то
отрицателен, и наоборот.
- Однотипные неравенства можно складывать:
- Если
и
, то
.
- Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:
- Если
и
, то
.
- Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно.
- Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно),
- Следствие 1: в упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен)[5].
- Следствие 2: в упорядоченном кольце с единицей всегда
(так как 1 есть квадрат самой себя)[4].
- Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
- Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу
целых чисел[6].
Примеры колец и полей, которые не допускают упорядочения
Вариации и обобщения
Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации:
Примечания
- ↑ Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, vol. 52, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1
- ↑ Бурбаки, 1965, с. 271.
- ↑ Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1962. — С. 137. — 517 с.
- 1 2 Бурбаки, 1965, с. 272.
- ↑ Нечаев, 1975, с. 90.
- ↑ Нечаев, 1975, с. 100.
- ↑ Нечаев, 1975, с. 91.
- ↑ Partially ordered ring
- ↑ Нечаев, 1975, с. 88—89.
Литература
- Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 271—272. — 299 с.
- Нечаев В. И. 6.4. Линейно упорядоченные кольца и тела // Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — С. 90—94. — 199 с.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .