Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.
Замечание
Если множество
содержит более одной точки, то все они топологически неразличимы, так как содержатся в одной единственной окрестности.
Свойства
- Единственными замкнутыми множествами в антидискретном топологическом пространстве являются
и
- Антидискретная топология обладает единственной базой:
- Антидискретное топологическое пространство не удовлетворяет большинству аксиом отделимости. В частности, оно не является хаусдорфовым, а следовательно и метризуемым. Однако антидискретное топологическое пространство удовлетворяет аксиомам Т3, T3½, Т4 ввиду отсутствия в нём тех объектов, для которых надо проверять условия аксиом. Именно поэтому в определения регулярного, вполне регулярного и нормального топологических пространств вводится требование удовлетворять ещё одной аксиоме отделимости: аксиоме Т1.
- Антидискретное топологическое пространство компактно и паракомпактно.
- Любая последовательность точек из
сходится к любой точке из того же пространства. В частности антидискретное топологическое пространство секвенциально компактно.
- Внутренность произвольного собственного подмножества
пуста.
- Замыкание произвольного непустого подмножества
совпадает с
. В частности, любое подмножество антидискретного топологического пространства всюду плотно в
- Два антидискретных топологических пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .