WikiSort.ru - Не сортированное

Вну́тренность множества в общей топологии — это совокупность всех внутренних точек. Обычно обозначается Int,^[1] вероятно, от англ. Interior.^{[источник не указан 2384 дня]} Иногда внутренность множества называют ядром.^[2]

Определение

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}),}$ где ${\displaystyle X}$  — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$  — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество ${\displaystyle A\subset X}$ . Тогда его внутренностью ${\displaystyle A^{0}}$ называется совокупность всех внутренних точек ${\displaystyle A.}$

Свойства

• Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств ${\displaystyle X.}$
• Внутренность ${\displaystyle A^{0}}$  — открытое множество.
• Внутренность ${\displaystyle A^{0}}$  — объединение всех открытых множеств, содержащихся в ${\displaystyle A:}$

${\displaystyle A^{0}=\bigcup \limits _{U\in {\mathcal {T}},U\subset A}U.}$

• Внутренность ${\displaystyle A^{0}}$  — наибольшее открытое множество, содержащееся в ${\displaystyle A:}$

${\displaystyle (U\in {\mathcal {T}})\wedge (U\subset A)\Rightarrow (U\subset A^{0}).}$

• Множество ${\displaystyle A}$ открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:

${\displaystyle (A\in {\mathcal {T}})\Leftrightarrow \left(A=A^{0}\right).}$

• Операция внутренности идемпотентна:

${\displaystyle \left(A^{0}\right)^{0}=A^{0}.}$

• Операция внутренности сохраняет частичный порядок:

${\displaystyle (A\subset B)\Rightarrow \left(A^{0}\subset B^{0}\right).}$

Примеры

• ${\displaystyle \emptyset ^{0}=\emptyset .}$
• Если ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$  — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то ${\displaystyle A^{0}=\emptyset .}$
• Если ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$  — вещественная прямая со стандартной топологией, и ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ,}$ то ${\displaystyle [a,b]^{0}=(a,b).}$
• Если ${\displaystyle X}$  — дискретное пространство, то для любого ${\displaystyle A\subset X}$ имеем ${\displaystyle A=A^{0}.}$

См. также

• Внешность
• Граница
• Замыкание

Примечания