WikiSort.ru - Не сортированное

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Случайное компактное множество — это, по существу, случайная величина со значениями в компактных множествах. Случайные компактные множества используются при изучении аттракторов случайных динамических систем.

Определение

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  — множество всех компактных подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ . На ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ определяется хаусдорфова метрика ${\displaystyle h:}$

${\displaystyle h(K_{1},K_{2})=\inf \left\{\varepsilon >0:K_{1}\subseteq K_{2}\bigoplus b(0,\varepsilon ),K_{2}\subseteq K_{1}\bigoplus b(0,\varepsilon )\right\}.}$

С метрикой ${\displaystyle h}$ , ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  — полное сепарабельное метрическое пространство. Соответствующие открытые подмножества порождают ${\displaystyle \sigma }$ -алгебру, борелевскую ${\displaystyle \sigma }$ -алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{K}}$ множества ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ .

Случайное компактное множество — это измеримая функция из вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}$ в измеримое пространство ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathfrak {B}}_{K})}$ . Случайные компактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона [Matheron, 1975]. Следовательно, их распределение задается вероятностями

${\displaystyle \mathbf {P} (X\cap K=\emptyset ),\ \ \ K\in {\mathcal {K}}.}$

Продолжая, заметим, что распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения ${\displaystyle \mathbf {P} (X\subset K).}$

Для ${\displaystyle K=\{x\}}$ определена вероятность ${\displaystyle \mathbf {P} (x\in X)}$ , которая удовлетворяет соотношению:

${\displaystyle \mathbf {P} (x\in X)=1-\mathbf {P} (x\not \in X).}$

Таким образом функция покрытия дается формулой

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbf {P} (x\in X),\ \ \ x\in \mathbb {R} ^{2}.}$

Разумеется, ${\displaystyle p_{X}(x)}$ может также интерпретироваться, как среднее индикаторной функции ${\displaystyle \mathbf {1} _{X}(x):}$

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbf {E} \mathbf {1} _{X}(x).}$

Функция покрытия принимает значения между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ . Множество ${\displaystyle b_{X}}$ всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ с ${\displaystyle p_{X}(x)>0}$ называется базой ${\displaystyle X.}$ Множество ${\displaystyle k_{X}}$ всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ с ${\displaystyle p_{X}(x)=1}$ называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом ${\displaystyle e(X)}$ . Если ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$  — это последовательность н.о.р. случайных компактных множеств, то почти наверное

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)}$

и ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}}$ сходится почти наверное к ${\displaystyle e(X).}$

Литература

• Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.