Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой
, то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:
Симплектическая форма обычно обозначается
. В отличие от формы скалярного произведения, для которой
,
для симплектической формы всегда
Связанные определения
- Линейное преобразование L симплектического пространства называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую форму:
- Множество всех симплектических преобразований пространства S образует группу, называемую симплектической группой и обозначаемую Sp(S).
- Матрица симплектического преобразования называется симплектической матрицей.
- Подпространство s симплектического пространства S называется симплектическим, если ограничение симплектической формы на s невырождено.
- Два вектора
называются косоортогональными, если
- Отметим, что любой вектор косоортогонален самому себе.
- Косоортогональным дополнением подпространства
называется множество всех векторов, косоортогональных любому вектору из
.
Каноническая структура
Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все симплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны. Эти факты следуют из теоремы Дарбу для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор
. В силу невырожденности
существует такой вектор
, что
Рассмотрим косоортогональное дополнение к линейной оболочке V векторов
и
. Можно показать, что это будет (2n-2)-мерное подпространство S, не пересекающееся c V, причём ограничение
на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором
заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим базис
,
такой что
где
— символ Кронекера. Он называется каноническим базисом или базисом Дарбу.
В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид
где
— единичная матрица порядка n.
является симплектической матрицей.
Строение подпространств
Рассмотрим подпространство
и его косоортогональное дополнение
. В силу невырожденности
:
Кроме того,
В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:
- Симплектические:
. Это верно тогда и только тогда, когда ограничение
на W невырождено, так что такое определение симплектических подпространств совпадает с данным ранее. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
- Изотропные:
. Подпространство изотропно тогда и только тогда, когда
тождественно равна нулю на нём. Любое одномерное подпространство изотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
.
- Коизотропные:
. W коизотропно тогда и только тогда, когда
невырождена на факторпространстве
. Любое подпространство коразмерности 1 коизотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
- Лагранжевы:
. W лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. Любое изотропное подпространство вкладывается в лагранжево, а любое коизотропное подпространство содержит лагранжево. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2n образует многообразие, называемое лагранжевым грассманианом
. Оно диффеоморфно многообразию смежных классов унитарной группы
по ортогональной подгруппе
, при этом
Примеры
- В комплексном пространстве
можно задать билинейную кососимметричную форму по формуле
- где
— эрмитова форма. Эта форма задаёт симплектическую структуру на овеществлении
пространства
.
- Для любого пространства V существует каноническая симплектическая структура на пространстве
, где
— сопряжённое к V пространство. Кососкалярное произведение определяется для базисных векторов в V и сопряжённых к ним по формуле
- и продолжается на все остальные векторы по линейности.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .