WikiSort.ru - Не сортированное

Через объемлющие компакты

Тихоновское пространство ${\displaystyle X}$ называется полным по Чеху, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:

• пространство ${\displaystyle X}$ является множеством типа ${\displaystyle G_{\delta }}$ в некотором объемлющем компакте;
• пространство ${\displaystyle X}$ является множеством типа ${\displaystyle G_{\delta }}$ в некоторой своей компактификации ${\displaystyle cX}$ ;
• пространство ${\displaystyle X}$ является множеством типа ${\displaystyle G_{\delta }}$ в каждой своей компактификации ${\displaystyle cX}$ ;
• пространство ${\displaystyle X}$ является множеством типа ${\displaystyle G_{\delta }}$ в компактификации Стоуна — Чеха ${\displaystyle \beta X}$ ;
• нарост некоторой компактификации ${\displaystyle cX\setminus c(X)}$ является множеством типа ${\displaystyle F_{\sigma }}$ в ${\displaystyle cX}$ ;
• нарост каждой компактификации ${\displaystyle cX\setminus c(X)}$ является множеством типа ${\displaystyle F_{\sigma }}$ в ${\displaystyle cX}$ ;
• нарост компактификации Чеха-Стоуна ${\displaystyle \beta X\setminus \beta (X)}$ является множеством типа ${\displaystyle F_{\sigma }}$ в ${\displaystyle \beta X}$ .

Внутренняя характеристика

Тихоновское пространство ${\displaystyle X}$ является полным по Чеху, тогда и только тогда, когда в нём существует счётное семейство открытых покрытий ${\displaystyle \{{\mathfrak {U}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ , такое, что пересечение любой центрированной системы замкнутых множеств ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ , в которой для каждого ${\displaystyle n\in N}$ существует множество ${\displaystyle F\in {\mathfrak {F}}}$ с диаметром, меньшим, чем покрытие ${\displaystyle {\mathfrak {U}}_{n}}$ , непусто (говорят, что диаметр множества ${\displaystyle F}$ , меньше покрытия ${\displaystyle {\mathfrak {U}}_{n}}$ , если существует ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {U}}_{n}}$ , такое, что ${\displaystyle F\subset U}$ ).

Более узкие классы

Все локально компактные пространства (в частности все компактные пространства) являются полными по Чеху.

Метризуемое пространство полно по Чеху тогда и только тогда, когда оно метризуемо полной метрикой.

Более широкие классы

Каждое полное по Чеху пространство является k-пространством и является пространством Бэра.