WikiSort.ru - Не сортированное

Не́га-позицио́нная систе́ма счисле́ния — это позиционная система счисления с отрицательным основанием. Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами и, следовательно, отсутствие правил знаков. Всякое число любой из нега-позиционных систем, отличное от ${\displaystyle 0}$ , с нечётным числом цифр — положительно, а с чётным числом цифр — отрицательно. Часто число в нега-позиционной системе требует для записи на одну цифру больше, чем то же число в системе с положительным основанием. Обычно название нега-позиционной системы состоит из приставки нега- и названия соответствующей системы счисления с положительным основанием; например, нега-десятичная (b = −10), нега-троичная (b = −3), нега-двоичная (b = −2) и другие.

Примеры

Нега-позиционная запись	Позиционная запись	Представление числа
174(-10)	34(10)	1·(-10)2 + 7·(-10)1 + 4·(-10)0 = 100 − 70 + 4 = 34
46(-10)	−34(10)	4·(-10)1 + 6·(-10)0 = −40 + 6 = −34
11001(-2)	1001(2)	1·(-2)4 + 1·(-2)3 + 0·(-2)2 + 0·(-2)1 + 1·(-2)0 = 16 − 8 + 1 = 9

История

Нега-позиционные системы счисления были впервые предложены Витторио Грюнвальдом^[en] в его работе «Giornale di Matematiche di Battaglini» 23 (стр 203—221), опубликованной в 1885 году. Грюнвальд описал алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, признаков делимости и преобразования систем счисления.

Использование

Число x в нега-позиционной системе счисления с основанием ${\displaystyle b=-r}$ представляется в виде линейной комбинации степеней числа ${\displaystyle -r}$ :

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(-r)^{k}}$ ,

где ${\displaystyle a_{k}}$  — это целые числа, называемые цифрами и удовлетворяющие неравенству ${\displaystyle 0\leq a_{k}<r}$ , ${\displaystyle k}$  — порядковый номер разряда начиная с нулевого, n — число разрядов. Каждая степень ${\displaystyle (-r)^{k}}$ в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя ${\displaystyle k}$ . Обычно для ненулевого числа ${\displaystyle x}$ требуют, чтобы старшая цифра ${\displaystyle a_{n-1}}$ в b-ричном представлении ${\displaystyle x}$ была также ненулевой.

Нега-позиционные системы сравнимы с знако-разрядными системами счисления, такими как симметричная троичная система, где основание системы положительно, однако цифры могут принимать отрицательные значения из некого промежутка.

Некоторые числа обладают одним и тем же представлением в системах счисления с основанием ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle -b}$ (позиционных и соответствующим им нега-позиционных). К примеру, числа от 100 до 109 одинаково записываются в десятичной и нега-десятичных системах счисления. Аналогично:

${\displaystyle 17=2^{4}+2^{0}=(-2)^{4}+(-2)^{0}}$

То есть число 17 имеет одинаковое представление в двоичной и нега-двоичной системах счисления — ${\displaystyle 10001}$ .

Представления чисел от −12 до 12 в различных системах счисления:

Перевод в нега-позиционные системы

Нега-позиционное представление числа может быть получено последовательными делениями с остатком исходного числа на ${\displaystyle b=-r}$ (то есть на основание нега-позиционной системы) и записью подряд остатков начиная с последнего. Заметим, что если ${\displaystyle a/b=c}$ , с остатком ${\displaystyle d}$ , то ${\displaystyle bc+d=a}$ . Пример перевода в нега-троичную систему:

${\displaystyle {\begin{aligned}146&~/~-3=&-48,&~~~d=2\\-48&~/~-3=&16,&~~~d=0\\16&~/~-3=&-5,&~~~d=1\\-5&~/~-3=&2,&~~~d=1\\2&~/~-3=&0,&~~~d=2\\\end{aligned}}}$

Следовательно, нега-троичным представлением числа 146₍₁₀₎ является 21102_(-3).

static string negaternary(int value)
{
	string result = string.Empty;
	do
	{
		int remainder = value % -3;
		value = value / -3;
		if (remainder < 0)
		{
			remainder += 3;
			value += 1;
		}
		result = remainder.ToString() + result;
	} while (value != 0);
	return result;
}

Дроби

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 31 декабря 2016 года.

Арифметические операции

 ·  ·
 18115
+
  5487
  3582

  ·
  72
+
  49
1901

 1
 52
-
 39
 33

 2
-
 9
13

См. также

• Нега-двоичная система счисления
• Знако-разрядная система счисления
• Симметричная система счисления

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 22 марта 2017 года.