WikiSort.ru - Не сортированное

Компактный носитель

Функции с компактным носителем на ${\displaystyle X}$  — те, носитель которых является компактным подмножеством ${\displaystyle X}$ .

Например, если ${\displaystyle X}$  — это вещественная прямая, то все непрерывные функции, обнуляющиеся при ${\displaystyle |x|>C}$ , являются функциями с компактным носителем.

Функция называется финитной, если её носитель компактен.

Формальное определение

Рассмотрим обобщённую функцию ${\displaystyle f}$ и все множества ${\displaystyle K}$ такие, что если финитная функция ${\displaystyle \varphi }$ обнуляется на множестве ${\displaystyle K}$ , то значение ${\displaystyle (f,\;\varphi )}$ равно 0.

Наименьшее (по включению) из таких множеств называется носителем обобщённой функции ${\displaystyle f}$ . (Иначе можно сказать, что ${\displaystyle \mathrm {supp} \,f}$ является пересечением всех таких ${\displaystyle K}$ ).

Стоит отметить, что носитель обобщённой функции будет непустым компактным множеством.

Замечание

Заметим, что такое определение носителя не совпадает с классическим. Действительно, обобщённая функция ${\displaystyle f}$ определена на пространстве бесконечно гладких финитных функций ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(X)}$ , а значит, классический носитель должен быть подмножеством ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(X)}$ , в то время как носитель обобщённой функции есть подмножество ${\displaystyle X}$ .

Примеры

В качестве примера можно рассмотреть функцию Дирака ${\displaystyle \delta (x)}$ .

Возьмём любую финитную функцию ${\displaystyle \varphi }$ с носителем, не включающим точку 0. Так как ${\displaystyle (\delta ,\;\varphi )}$ (${\displaystyle \delta }$ применяется как линейный функционал к ${\displaystyle \varphi }$ ) равно нулю для таких функций, мы можем сказать, что носитель ${\displaystyle \delta }$  — это только точка ${\displaystyle \{0\}}$ .

Формальное определение

Пусть ${\displaystyle f}$  — обобщённая функция. Её можно представить в виде ${\displaystyle f=u+v}$ , где ${\displaystyle u}$  — регулярная обобщённая функция, а ${\displaystyle v}$  — сингулярная обобщённая функция. (Такое представление, вообще говоря, не единственно.)

Пересечение носителей ${\displaystyle \mathrm {supp} \,v}$ по всем возможным разложениям ${\displaystyle f=u+v}$ называется сингулярным носителем обобщённой функции ${\displaystyle f}$ .

Классическое обозначение сингулярного носителя ${\displaystyle \mathrm {sing\,supp} \,f}$ .

Примеры

Так, сингулярным носителем для функции Дирака является точка 0.

В данном частном случае сингулярный носитель и просто носитель обобщённой функции совпадают. Однако это не есть общее свойство. Например, для обобщённой функции, действующей по формуле

${\displaystyle (f,\;\varphi )=\int \limits _{0}^{1}\varphi \,dx+\varphi (0),}$

носителем будет отрезок ${\displaystyle [0,\;1]}$ , а сингулярным носителем точка 0.

Другим примером является преобразование Фурье для шаговой функции Хевисайда может быть рассмотрено с точностью до константы как ${\displaystyle 1/x}$ , за исключением точки, в которой ${\displaystyle x=0}$ . Так как это очевидно особая точка, то более точным является формулировка, что преобразование в качестве распределения имеет сингулярный носитель ${\displaystyle \{0\}}$ .

Для распределений с несколькими переменными, сингулярные носители позволяют определять множества волнового фронта и понять принцип Гюйгенса в терминах математического анализа. Сингулярные носители также могут быть использованы для понимания феноменов, специфичных для теории распределений, таких как попытки перемножения распределений (возведение в квадрат дельты-функции Дирака невозможно, в основном потому, что сингулярные носители распределений, которые перемножаются должны быть разделены).

Важное применение сингулярный носитель находит в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО), в частности в теореме о псевдолокальности ПДО.