WikiSort.ru - Не сортированное

Нормальная форма Смита — это диагональная (не обязательно квадратная) матрица над областью главных идеалов, каждый следующий диагональный элемент которой делится на предыдущий. Любую матрицу над областью главных идеалов можно привести к нормальной форме Смита путём умножения слева и справа на обратимые матрицы^[1].

Формулировка

Для любой матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ над областью главных идеалов ${\displaystyle R}$ существуют такие обратимые над ${\displaystyle R}$ матрицы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ , что ${\displaystyle BAC=diag(g_{1},g_{2},....,g_{p},0,...,0)}$ , где ${\displaystyle g_{i+1}}$ делится на ${\displaystyle g_{i}}$ . Здесь ${\displaystyle diag(g_{1},g_{2},....,g_{p},0,...,0)}$ обозначает матрицу размера ${\displaystyle m\times n}$ с указанными диагональными элементами и остальными нулями.

Применения

Из теоремы о нормальной форме Смита следует известная теорема о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. В частности, если ${\displaystyle R}$  — кольцо целых чисел, то из нормальной формы Смита получается теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп, а если ${\displaystyle R=F[t]}$  — кольцо многочленов над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle F}$ , то из нее можно вывести теорему о жордановой форме линейного оператора.

Примечания

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.