WikiSort.ru - Не сортированное

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

${\displaystyle a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1}(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=f(t).}$

Метод состоит в замене произвольных постоянных ${\displaystyle c_{k}}$ в общем решении

${\displaystyle z(t)=c_{1}z_{1}(t)+c_{2}z_{2}(t)+...+c_{n}z_{n}(t)}$

соответствующего однородного уравнения

${\displaystyle a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1}(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=0}$

на вспомогательные функции ${\displaystyle c_{k}(t)}$ , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{1}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}(t)c_{n}'(t)&=&0\\\vdots \\z_{1}^{(n-2)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-2)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-2)}(t)c_{n}'(t)&=&0\\z_{1}^{(n-1)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-1)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-1)}(t)c_{n}'(t)&=&f(t)/a_{n}(t)\end{matrix}}\right.\qquad (1)}$

Определителем системы (1) служит вронскиан функций ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}}$ , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно ${\displaystyle {c_{k}'}}$ .

Если ${\displaystyle {\widetilde {c_{k}}}}$  — первообразные для ${\displaystyle c_{k}'}$ , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

${\displaystyle z=z^{*}(t)={\widetilde {c_{1}}}(t)z_{1}(t)+...+{\widetilde {c_{n}}}(t)z_{n}(t)}$

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

${\displaystyle {\frac {d{\bar {x}}}{dt}}=A(t){\bar {x}}+{\bar {f}}(t),t\in I\qquad (2)}$

состоит в построении общего решения (2) в виде

${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=Z(t){\bar {u}}(t),}$

где ${\displaystyle Z(t)}$  — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция ${\displaystyle {\bar {u}}}$ , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением ${\displaystyle {\bar {u'}}(t)=Z^{-1}(t){\bar {f}}(t)}$ . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при ${\displaystyle t=t_{0}}$ имеет вид

${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t)Z^{-1}(\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .}$

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t-\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .}$

Матрица ${\displaystyle Z(t)Z^{-1}(\tau )}$ называется матрицей Коши оператора ${\displaystyle L=A(t)}$ .

Ссылки

• exponenta.ru — Теоретическая справка c примерами

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.