WikiSort.ru - Не сортированное

Компактификация Стоуна — Чеха (также стоун-чеховская или чех-стоунова компактификация) — максимальная компактификация вполне регулярного топологического пространства.

Компактификация Стоуна — Чеха пространства ${\displaystyle X}$ обычно обозначается как ${\displaystyle \beta X}$ .

Компактификацию Стоуна — Чеха можно определить при помощи универсального свойства. Как и любое универсальное свойство, оно является достаточным для определения компактификации с точностью до изоморфизма, однако для доказательства существования компактификации нужно описать явную конструкцию.

История

Конструкция компактификации Стоуна — Чеха была впервые рассмотрена Тихоновым^[1] в 1930 году. Более явно она была описана в 1937 году Стоуном ^[2] и Эдуардом Чехом^[3].

Универсальное свойство

${\displaystyle \beta X}$  — это компактное хаусдорфово пространство вместе с непрерывным отображением из ${\displaystyle X,}$ удовлетворяющее следующему универсальному свойству: любое непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to K}$ в компактное хаусдорфово пространство ${\displaystyle K}$ можно однозначно продолжить до непрерывного отображения ${\displaystyle \beta f:\beta X\to K,}$ такого что следующая диаграмма коммутативна:

В случае, если исходное пространство ${\displaystyle X}$ было вполне регулярным, отображение ${\displaystyle X\to \beta X}$ является гомеоморфизмом ${\displaystyle X}$ на образ этого отображения (то есть вложением).

Конструкция

Обозначим через ${\displaystyle A}$ множество всех непрерывных функций ${\displaystyle \alpha \colon X\to [0,1]}$ . Можно проверить, что отображение ${\displaystyle F:X\to [0,1]^{A}}$ (тихоновский куб), определяемое равенством

${\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A}}$ ,

является гомеоморфизмом ${\displaystyle X}$ на свой образ ${\displaystyle F(X)\subset [0,1]^{A}}$ . Замыкание ${\displaystyle F(X)}$ в ${\displaystyle [0,1]^{A}}$ и будет искомой компактификацией.

Свойства

• Если ${\displaystyle X}$ является дискретным пространством, его компактификация — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств ${\displaystyle X,}$ наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров ${\displaystyle G}$ можно взять множества ${\displaystyle D_{a}=\{U\in G|a\in U\}}$ для всевозможных ${\displaystyle a\in P(X).}$

Примечания

Литература

• Стоуна — Чеха бикомпактное расширение — статья из Математической энциклопедии. Кожевникова И. Г.
• Dror Bar-Natan, Ultrafilters, Compactness, and the Stone-Čech compactification