WikiSort.ru - Не сортированное

В математике, категория топологических пространств — это категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения. Изучение топологических пространств с использованием методов теории категорий известно как категорная топология.

Конкретная категория

Top — конкретная категория, поэтому её объекты можно понимать как множества с дополнительной структурой. Существует естественный забывающий функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель:

U : Top → Set

Этот функтор имеет как левый сопряженный

D : Set → Top

снабжающий множество дискретной топологией, так и правый сопряженный

I : Set → Top

снабжающий множество антидискретной топологией. Более того, поскольку любая функция между дискретными или антидискретными пространствами непрерывна, оба этих функтора задают полное вложение категории множеств в Top.

Пределы и копределы

Категория Top является полной и кополной, то есть в ней существуют все малые пределы и копределы. Забывающий функтор U : Top → Set единственным образом поднимает пределы, а также сохраняет их. Поэтому для получения (ко)пределов в Top достаточно снабдить нужной топологией (ко)пределы в Set.

А именно, если F — диаграмма в Top и (L, φ) — предел диаграммы UF в Set, то соответствующий предел F в Top можно получить, снабдив (L, φ) начальной топологией. Соответственно, копределы в Top получаются снабжением копредела в Set конечной топологией.

Другие свойства

• Мономорфизмы в Top — это непрерывные инъективные отображения; эпиморфизмы — непрерывные сюръективные отображения, а изоморфизмы — гомеоморфизмы.
• В Top нет нулевых морфизмов, в частности эта категория не предаддитивна.
• Top не является декартово замкнутой, потому что не для всех её объектов существуют экспоненциалы.

Примечания

• Herrlich, Horst: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).

• Herrlich, Horst: Categorical topology 1971—1981. In: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, pp. 279—383.

• Herrlich, Horst & Strecker, George E.: Categorical Topology — its origins, as examplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. In: Handbook of the History of General Topology (eds. C.E.Aull & R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. vol 1 (1997) pp. 255—341.

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).