WikiSort.ru - Не сортированное

Дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ.^[1] Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де Моргана, закон дистрибутивности. Дизъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем.

Примеры

Формулы в ДНФ:

${\displaystyle A\lor B}$

${\displaystyle (A\land B)\lor \neg A}$

${\displaystyle (A\land B\land \neg C)\lor (\neg D\land E\land F)\lor (C\land D)\lor B}$

Формулы не в ДНФ:

${\displaystyle \neg (A\lor B)}$

${\displaystyle A\lor (B\land (C\lor D))}$

Но последние две формулы эквивалентны следующим формулам в ДНФ:

${\displaystyle \neg A\land \neg B}$

${\displaystyle A\lor (B\land C)\lor (B\land D).}$

Построение ДНФ

k-дизъюнктивная нормальная форма

k-дизъюнктивной нормальной формой называют дизъюнктивную нормальную форму, в которой каждая конъюнкция содержит ровно k литералов.

Например, следующая формула записана в 2-ДНФ:

${\displaystyle (A\land B)\lor (\neg B\land C)\lor (B\land \neg C)}$

Переход от ДНФ к СДНФ

Если в какой-то простой конъюнкции недостаёт переменной, например, Z, вставляем в неё выражение

${\displaystyle Z\vee \neg Z=1}$ ,

после чего раскрываем скобки (при этом повторяющиеся дизъюнктные слагаемые не пишем, так как ${\displaystyle Z\vee Z=Z}$ по закону идемпотентности). Например:

${\displaystyle X\vee \neg Y\neg Z=X(Y\vee \neg Y)(Z\vee \neg Z)\vee (X\vee \neg X)\neg Y\neg Z=}$

${\displaystyle XYZ\vee X\neg YZ\vee XY\neg Z\vee X\neg Y\neg Z\vee X\neg Y\neg Z\vee \neg X\neg Y\neg Z=}$

${\displaystyle =XYZ\vee X\neg YZ\vee XY\neg Z\vee X\neg Y\neg Z\vee \neg X\neg Y\neg Z}$

Таким образом, из ДНФ получили СДНФ.

Формальная грамматика, описывающая ДНФ

Следующая формальная грамматика описывает все формулы, приведенные к ДНФ:

<ДНФ> → <конъюнкт>

<ДНФ> → <ДНФ> ∨ <конъюнкт>

<конъюнкт> → <литерал>

<конъюнкт> → (<конъюнкт> ∧ <литерал>)

<литерал> → <терм>

<литерал> → ¬<терм>

где <терм> обозначает произвольную булеву переменную.

См. также

• Конъюнктивная нормальная форма
• Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
• Совершенная конъюнктивная нормальная форма

• Конъюнктивный одночлен
• Дизъюнктивный одночлен

Примечания

Литература

• Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 176 с. - (Высшее образование).

Ссылки

• ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ
• Disjunctive Normal Form
• Дизъюнктивная и Конъюнктивная нормальные формы
• Определение ДНФ и КНФ