WikiSort.ru - Не сортированное

Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.

Примеры

• Группа симметрии отрезка в одномерном пространстве содержит два элемента: тождественное преобразование и отражение относительно середины отрезка. Но в двумерном евклидовом пространстве существует уже 4 движения, переводящих заданный отрезок в себя. В трехмерном пространстве отрезок обладает бесконечным множеством симметрий (элементами группы симметрии будут, в частности, повороты на произвольный угол вокруг прямой, содержащей этот отрезок).
• Группа симметрии равностороннего треугольника на плоскости состоит из тождественного преобразования, поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае группа симметрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна симметрической группе S₃. Однако группа симметрии квадрата имеет порядок 8, а симметрическая группа S₄ изоморфна группе симметрии правильного тетраэдра.
• Группа симметрии разностороннего треугольника тривиальна, то есть состоит из одного элемента ― тождественного преобразования.
• Если считать, что человеческое тело зеркально симметрично, то его группа симметрии состоит двух элементов: тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симметричные друг другу правую и левую части.
• Произвольное периодическое замощение плоскости (или орнамент ^[1]) имеет группу симметрии, элементы которой всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым конгруэнтным ему элементом.

Классификация

Ниже предполагается, что для каждой точки ${\displaystyle x\in \mathbb {E} ^{n}}$ множество образов ${\displaystyle \{g(x)|g\in G\}}$ , где ${\displaystyle G}$  — группа симметрии, топологически замкнуто.

См. также

• Правильные многогранники
• Список кристаллографических групп
• Точечная группа симметрии

Примечания

Литература

• Г. Вейль. Симметрия. — М.: Наука, 1968.
• Miller, Willard Jr. Symmetry Groups and Their Applications. — New York: Academic Press, 1972.