Гиперболоидная модель, известная также как модель Минковского или лоренцева модель (Герман Минковский, Хендрик Лоренц), является моделью n-мерной геометрии Лобачевского, в которой каждая точка представлена точкой на верхней поверхности двуполостного гиперболоида в (n+1)-мерном пространстве Минковского а m-плоскости представлены пересечением (m+1)-плоскостей в пространстве Минковского с S+. Функция гиперболического расстояния в этой модели удовлетворяет простому выражению. Гиперболоидная модель n-мерного гиперболического пространства тесно связана с моделью Бельтрами — Клейна и дисковой моделью Пуанкаре, так как они являются проективными моделями в смысле, что группа движений[en] является подгруппой проективной группы.
Если являются векторами в (n + 1)-мерном координатном пространстве , квадратичная форма Минковского определяется как
Вектора , такие, что , образуют n-мерный гиперболоид S, состоящий из двух связных компонент, или листов — верхний, или будущее, лист , где и нижний, или прошлое, лист , где . Точки n-мерной гиперболоидной модели являются точками на листе будущего .
Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q,
Или в явном виде,
Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v пространства задаётся формулой ,
где arch является обратной функцией гиперболического косинуса.
Прямая в гиперболическом n-пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде является (непустым) пересечением с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n+1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмём в качестве u и v базисные вектора линейного подпространства с
и используем w как параметр для точек на геодезической, то
будет точкой на геодезической[1].
Более обще, k-мерная «плоскость» в гиперболическом n-пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k+1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.
Неопределённая ортогональная группа[en] O(1,n), называемая также (n+1)-мерной группой Лоренца, является группой Ли вещественных (n+1)×(n+1) матриц, которая сохраняет билинейную форму Минковского. Другими словами, это группа линейных движений пространства Минковского. В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S. Напомним, что неопределённые ортогональные группы имеют четыре связные компоненты, соответствующие обращению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь — 1-мерном и n-мерном), и образуют четверную группу Клейна. Подгруппа O(1,n), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца, обозначаемой O+(1,n), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или обращению ориентации подпространства. Её подгруппа SO+(1,n), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n(n+1)/2, которая действует на S+ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и является стабилизатором вектора (1,0,…,0), состоящим из матриц вида
где принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO(n) (обобщающей группу вращений SO(3) для n = 3). Отсюда следует, что n-мерное гиперболическое пространство[en] может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1,
Группа SO+(1,n) является полной группой сохраняющих ориентацию движений n-мерного гиперболического пространства.
Позднее (1885) Киллинг утверждал, что фраза координаты Вейерштрасса соотносится с элементами гиперболоидной модели следующим образом: если задано скалярное произведение на , координаты Вейерштрасса точки равны
что можно сравнить с выражением
для модели полусферы[11].
Как метрическое пространство гиперболоид рассматривал Александр Макфарлейн[en] в книге Papers in Space Analysis (1894). Он заметил, что точки на гиперболоиде можно записать как
где α является базисным вектором, ортогональным оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов[en] путём использования алгебры физики[en][1].
Х. Дженсен сфокусирвался на гиперболоидной модели в статье 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде»[12]. В 1993 У.Ф. Рейнольдс изложил раннюю историю модели в статье, напечатанной в журнале American Mathematical Monthly[13].
Будучи общепризнанной моделью в двадцатом веке, её отождествил с Geschwindigkeitsvectoren (нем., векторами скорости) Герман Минковский в пространстве Минковского. Скотт Вальтер в статье 1999 «Неевклидов стиль специальной теории относительности»[14] упоминает осведомлённость Минковского, но ведёт происхождение модели к Гельмгольцу, а не к Вейерштрассу или Киллингу.
В ранние годы релятивистскую гиперболоидную модель использовал Владимир Варичак[en] для объяснения физики скорости. В его докладе в Немецком Математическом обществе в 1912 он ссылался на координаты Вейерштрасса[15].
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .