Геометрия Римана (называемая также эллиптическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий постоянной кривизны (другие — это геометрия Лобачевского и сферическая геометрия). Если геометрия Евклида реализуется в пространстве с нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с отрицательной, то геометрия Римана реализуется в пространстве с постоянной положительной кривизной (в двумерном случае — на проективной плоскости и локально на сфере).
В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но в геометрии Римана нет параллельных прямых. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула где — сумма углов треугольника, — радиус сферы, на которой реализована геометрия.
Двумерная геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. При отождествлении противоположных точек сферы получается проективная плоскость, геометрия которой удовлетворяет аксиомам геометрии Римана.
Именно, рассмотрим сферу с центром в точке в трёхмерном пространстве . Каждая точка вместе с центром сферы определяет некоторую прямую , т. е. некоторую точку проективной плоскости . Сопоставление определяет отображение , большие круги на (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости , при этом в одну точку переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой и диаметрально противоположная ей точка (см. рисунок). Евклидовы движения пространства , переводящие сферу в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости , которые являются движениями геометрии Римана. В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.
Одно из отличий геометрии Римана от евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского состоит в том, что в ней нет естественного понятия «точка C лежит между точками A и B» (в сферической геометрии это понятие также отсутствует). Действительно, на прямую проективной плоскости отображается большой круг на сфере , причём две диаметрально противоположные точки сферы и переходят в одну точку . Аналогично, точки переходят в одну точку и точки переходят в одну точку . Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка лежит между и и что она не лежит между ними (см. рисунок).
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .