WikiSort.ru - Не сортированное

Точка излома или угловая точка — особая точка кривой^[1], обладающая тем свойством, что ветви кривой, на которые эта точка делит исходную кривую, имеют в этой точке различные (односторонние) касательные^[2][3]. Функция не является гладкой в данной точке.

Говорят, что функция имеет точку излома, если график функции имеет точку излома. Функция имеет точку излома, если она имеет правую и левую производные, которые различны между собой, то есть, выполняется неравенство${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f^{'}(x)\neq \lim _{x\to x_{0}^{+}}f^{'}(x)}$ и хотя бы один из них имеет конечный предел (правый и левый предел не стремятся к ${\displaystyle \pm \infty }$ ).

Точкой излома функции ${\displaystyle y=f(x)}$ является критическая точка первого рода в которой производная функции терпит разрыв (за исключением случая бесконечных односторонних производных одного знака)^[4], то есть правая и левая производные не совпадают^[2]. Точка излома нередко является точкой локального экстремума, в том случае если производные слева и справа имеют разный знак^[4].

Пример: функции ${\displaystyle y=|x|}$

Функция ${\displaystyle y=|x|}$ является непрерывной в точке (0,0). Производная равна ${\displaystyle y'=sgn(x)}$ , которая терпит разрыв в точке (0,0). ${\displaystyle f'_{+}(0)=1;f'_{-}(0)=-1}$  — правая и левая производные не совпадают. Таким образом точка (0,0) является точкой излома функции.

Примечания

См. также

• Касп
• Дифференцируемая функция