WikiSort.ru - Не сортированное

Число Хегнера

Число 163 — наибольшее из чисел Хегнера^{[en][1][2][3]}. Это наибольшее значение d, при котором число классов мнимого квадратичного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ равно 1. Эквивалентно, кольцо целых этого поля является факториальным кольцом^[4][5].

Кольца целых чисел в поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ называются квадратичными кольцами^[5]. Существует шестнадцать евклидовых вещественных квадратичных колец для d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73^[6][7]; существует только пять евклидовых мнимых квадратичных колец, для d = −1, −2, −3, −7, −11^[5][7][8]. При d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 кольца целых в ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ являются факториальными (гипотеза Гаусса^[en])^{[5][1][9][10]}.

Дискриминант многочлена

${\displaystyle x^{2}-x+41,}$

значения которого при ${\displaystyle 0\leq x\leq 40}$ являются простыми числами, равен −163^[4]. Значение константы Рамануджана^[11][12]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743{,}9999999999992500725971981856888\ldots }$

отличается от ближайшего целого числа приблизительно на 7,5 × 10^−13[4].

Более того, равенство

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}[ne^{\pi {\sqrt {163}}/3}]\approx 1280640}$

выполняется с точностью более полумиллиарда десятичных знаков после запятой^[13].

Все эти факты связаны с тем, что классовое число квадратичного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})}$ равно 1, а поскольку 163 — наибольшее из чисел ${\displaystyle d}$ , обладающих таким свойством, то и отличие ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}}$ от ближайшего целого минимально при выборе именно ${\displaystyle d=163}$ ^[4][3][14].

Другие свойства

163 из 3⁹ = 19 683 матриц 3 × 3 с коэффициентами из [−1; 1] порождают (с использованием обычного матричного умножения) группу порядка 2^[16]. Если брать коэффициенты из [−n; n], то при n = 1, 2, 3, 4, 5, … число матриц, порождающих группу порядка 2, равно 163, 643, 1651, 3379, 5203, ….