WikiSort.ru - Не сортированное

Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует вещественных чисел. Конечная геометрия может иметь любое конечное число измерений.

Конечные геометрии могут описываться линейной алгеброй, как векторные пространства и подобные структуры над конечным полем, которые называются геометриями Галуа, или могут описываться полностью комбинаторно. Многие, но не все, конечные геометрии являются геометриями Галуа, — например, любое проективное пространство размерностью три или более является изоморфным проективному пространству над конечным полем (проективизации векторного пространства над конечным полем), и в этом случае различий нет, но в размерности два существуют проективные плоскости, которые не являются изоморфными проективным пространствам над конечными полями. Они являются недезарговыми плоскостями. Таким образом в размерности два различия имеются.

Конечные плоскости

Следующие замечания касаются только конечных плоскостей.

Существуют два вида геометрии на плоскости: аффинная и проективная. В аффинной геометрии используется обычное понятие параллельности прямых. В проективной геометрии наоборот, любые две прямые пересекаются в единственно возможной точке, и потому параллельных прямых не существует. Как конечная аффинная геометрия на плоскости, так и конечная проективная геометрия на плоскости могут быть описаны достаточно простыми аксиомами. Аффинная геометрия на плоскости — это непустое множество ${\displaystyle X}$ (элементы которого называются «точками»), с непустым набором ${\displaystyle L}$ подмножеств ${\displaystyle X}$ (элементы которого называются «прямая»), таких, что:

1. Для двух различных точек существует только одна прямая, которая содержит обе точки.
2. Аксиома параллельности Евклида: Для прямой ${\displaystyle \ell }$ и точки ${\displaystyle p}$ , не принадлежащей ${\displaystyle \ell }$ , существует одна и только одна прямая ${\displaystyle \ell '}$ , содержащая ${\displaystyle p}$ , такая, что ${\displaystyle \ell \cap \ell '=\varnothing .}$
3. Существует множество из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Последняя аксиома обеспечивает, что геометрия не пуста, тогда как первые две описывают её природу.

Простейшая аффинная плоскость содержит лишь 4 точки, и называется аффинной плоскостью второго порядка. Каждая пара точек определяет уникальную прямую, поэтому указанная плоскость содержит 6 прямых. Это аналогично тетраэдру, у которого непересекающиеся рёбра рассматриваются как «параллельные», или квадрату, у которого параллельными считаются не только противоположные стороны, но и диагонали также рассматриваются как параллельные.

В более общем случае, конечная аффинная плоскость порядка ${\displaystyle n}$ имеет ${\displaystyle n^{2}}$ точек и ${\displaystyle n^{2}+n}$ прямых; каждая прямая содержит ${\displaystyle n}$ точек, и каждая точка принадлежит ${\displaystyle n+1}$ прямой.

Проективная геометрия на плоскости является непустым множеством ${\displaystyle X}$ (элементы которого называются «точками»), вместе с непустым набором ${\displaystyle L}$ подмножеств ${\displaystyle X}$ (элементы которого называются «прямыми») таких что:

1. Для любых двух различных точек существует только одна прямая, содержащая эти точки.
2. Пересечение двух различных прямых содержит ровно одну точку.
3. Существует множество из четырёх точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой.

Рассмотрение первых двух аксиом показывает, что они почти идентичны, разве что роли точек и прямых поменялись. Это подсказывает нам принцип двойственности проективной геометрии на плоскости, то есть можно считать, что верное утверждение остаётся верным, если заменить точки прямыми, а прямые точками.

Поскольку третья аксиома требует существования как минимум четырёх точек, плоскость должна содержать как минимум 7 точек, чтобы удовлетворить условиям первых двух аксиом. В этой простейшей из проективных плоскостей имеется также 7 прямых; каждая точка принадлежит трём прямым, и каждая прямая содержит три точки. Такую проективную плоскость часто называют "плоскостью Фано". Если какую-либо из линий удалить из плоскости вместе с принадлежащими ей точками, то в результате получим аффинную плоскость второго порядка. По этой причине плоскость Фано называется проективной плоскостью второго порядка.

В общем случае проективная плоскость порядка n имеет ${\displaystyle n^{2}+n+1}$ точек и столько же линий (согласно упомянутому выше принципу двойственности). Каждая линия содержит ${\displaystyle n+1}$ точек, и каждая точка принадлежит ${\displaystyle n+1}$ прямой.

Перестановка семи точек плоскости Фано, которая переносит коллинеарные (такие, которые лежат на одной прямой) точки в коллинеарные точки называется "симметрией" плоскости. Полная группа симметрии имеет порядок 168 и изоморфна группе PSL(2,7) = PSL(3,2), и общей линейной группе GL(3,2).

Примечания

См. также

• Геометрия Галуа
• Линейное пространство

Литература

Картеси Ф. Введение в конечные геометрии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. finite geometry (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Essay on Finite Geometry by Michael Greenberg  (недоступная ссылка с 18-05-2013 [2039 дней] — история)
• Finite geometry (Script)
• Finite Geometry Resources
• J. W. P. Hirschfeld, researcher on finite geometries
  • Books by Hirschfeld on finite geometry
• AMS Column: Finite Geometries?
• Galois Geometry and Generalized Polygons  (недоступная ссылка с 18-05-2013 [2039 дней] — история), intensive course in 1998
• Carnahan, Scott (2007-10-27), Small finite sets, <http://sbseminar.wordpress.com/2007/10/27/small-finite-sets/>