WikiSort.ru - Не сортированное

Задачи тысячелетия
	Равенство классов P и NP
	Гипотеза Ходжа
	Гипотеза Пуанкаре (решена)
	Гипотеза Римана
	Решение уравнений; квантовой теории; Янга — Миллса
	Существование и гладкость ; решений уравнений; Навье — Стокса
	Гипотеза ; Бёрча — Свиннертон-Дайера

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

Хотя не было найдено какой-либо закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих $x$ , — функция распределения простых чисел, обозначаемая $\pi (x)$ — выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.

Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе, о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.

Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит награду в один миллион долларов США. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачена небольшая часть награды)^[1]^[2].

Формулировка

Действительная (красная) и мнимая (синяя) компоненты дзета-функции

Дзета-функция Римана $\zeta (s)$ определена для всех комплексных $s\neq 1$ и имеет нули в отрицательных чётных, то есть $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)\dots$ , такие нули называются тривиальными.

Из функционального уравнения $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s}\sin {\pi s \over 2}{\frac {1}{\sin \pi s\Gamma (s)}}\zeta (1-s)$ и явного выражения ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$ при $\operatorname {Re} \,s>1$ , где $\mu (n)$ — функция Мёбиуса, следует, что все остальные нули (называемые «нетривиальными»), расположены в полосе $0\leqslant \operatorname {Re} \,s\leqslant 1$ симметрично относительно так называемой «критической линии» ${1 \over 2}+it,\;t\in \mathbb {R}$ .

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана утверждает, что:

«Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ${\frac {1}{2}}$ »,

то есть являются комплексными числами, расположенными на прямой $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$ .

Обобщённая гипотеза Римана

Обобщённая гипотеза Римана - аналог гипотезы Римана для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Эквивалентные формулировки

В 1901 году Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)

при

x\rightarrow \infty .

Ещё несколько эквививалентных формулировок:

Для всех $x\geqslant 2657$ выполняется неравенство $\left|\pi (x)-\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}\right|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln x,$

Для всех $x\geqslant 73.2$ выполняется неравенство $|\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln ^{2}(x),$ где ψ(x) — вторая функция Чебышёва,

Для всех $n>5040$ выполняется неравенство $\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n,$ где $\sigma (n)$ — сумма делителей числа $n$ , а $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони. Неравенство нарушается при n = 5040 и некоторых меньших значениях (всего 27 исключений), но Гай Робин в 1984 году показал, что оно соблюдается для всех бóльших целых, тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна, и что последовательность исключений из условия теоремы Робина бесконечно много, если гипотеза Римана неверна. Известно также, что наименьшее из таких чисел-исключений n ≥ 5041 должно быть сверхизбыточным числом^[en]^[3].

Для всех $n>1$ выполняется неравенство $\sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\ln H_{n},$ где $H_{n}$ — $n$ -е гармоническое число.^[4]

Для любого положительного $\varepsilon$ выполняется неравенство $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$ , где $M(n)$ — функция Мертенса, см. также обозначение O большое. Более сильная гипотеза $|M(n)|<{\sqrt {n}}$ была опровергнута в 1985 году^[5].

Гипотеза Римана эквивалентна следующему равенству: $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(1-12t^{2})}{(1+4t^{2})^{3}}}\int \limits _{1/2}^{\infty }\log |\zeta (\sigma +it)|\,d\sigma \,dt={\frac {\pi (3-\gamma )}{32}}$ .

Показано, что гипотеза Римана истинна тогда и только тогда, когда интегральное уравнение

\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\phi (z)\,dz}{{e^{x/z}}+1}}=0

не имеет нетривиальных решений $\phi$ для $1/2<\sigma <1$ .

История

В 1896 году Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых $\operatorname {Re} \,s=0$ и $\operatorname {Re} \,s=1$ .

В 1900 году Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1914 году Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже совместно с Литлвудом дал нижнюю оценку доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера».^[6]

Титчмарш и Ворос в 1987 году показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

На 2004 год численными методами было проверено, что более 10¹³ (более десяти триллионов) первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана, удовлетворяют этой гипотезе^[7]^[8].

Соображения об истинности гипотезы

В обзорных работах (Bombieri, 2000, Conrey, 2003, Sarnak, 2008) отмечается, что данные в пользу истинности гипотезы Римана сильны, но оставляют место для обоснованных сомнений. Отдельные авторы, однако, убеждены в ложности гипотезы (в частности, так считал Джон Литлвуд).

Среди данных, позволяющих предполагать истинность гипотезы, можно выделить успешное доказательство сходных гипотез (в частности, гипотезы Римана о многообразиях над конечными полями^[9]). Это наиболее сильный теоретический довод, позволяющий предположить, что условие Римана выполняется для всех дзета-функций, связанных с автоморфными отображениями (англ.)русск., что включает классическую гипотезу Римана. Истинность аналогичной гипотезы уже доказана^[10] для дзета-функции Сельберга (англ.)русск., в некоторых отношениях сходной с функцией Римана, и для дзета-функции Госса (англ.)русск. (аналог дзета-функции Римана для функциональных полей).

С другой стороны, некоторые из дзета-функций Эпштейна (англ.)русск. не удовлетворяют условию Римана, хотя они имеют бесконечное число нулей на критической линии. Однако эти функции не выражаются через ряды Эйлера и не связаны напрямую с автоморфными отображениями.

К «практическим» доводам в пользу истинности Римановской гипотезы относится вычислительная проверка большого числа нетривиальных нулей дзета-функции в рамках проекта ZetaGrid^[en].

Связанные проблемы

Две гипотезы Харди-Литтлвуда

В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал,^[11] что функция $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ имеет бесконечно много вещественных нулей.

Пусть $N(T)$ есть количество вещественных нулей, а $N_{0}(T)$ количество нулей нечётного порядка функции $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ , лежащих на интервале $(0,T]$ .

Две гипотезы Харди и Литлвуда^[12] (о расстоянии между вещественными нулями $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ и о плотности нулей $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ на интервалах $(T,T+H]$ при достаточно большом $T>0$ , $H=T^{a+\varepsilon }$ и как можно меньшем значении $a>0$ , где $\varepsilon >0$ сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана:

Для любого $\varepsilon >0$ существует $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ , такое что при $T\geqslant T_{0}$ и $H=T^{0{,}25+\varepsilon }$ интервал $(T,T+H]$ содержит нуль нечётного порядка функции $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ .
Для любого $\varepsilon >0$ существуют такие $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ и $c=c(\varepsilon )>0$ , что при $T\geqslant T_{0}$ и $H=T^{0{,}5+\varepsilon }$ справедливо неравенство $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geqslant cH$ .

Гипотеза А. Сельберга

В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого $\varepsilon >0$ существуют $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ и $c=c(\varepsilon )>0$ , такие что для $T\geqslant T_{0}$ и $H=T^{0{,}5+\varepsilon }$ справедливо неравенство $N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T$ .

В свою очередь, Атле Сельберг высказал гипотезу,^[13] что можно уменьшить показатель степени $a=0{,}5$ для величины $H=T^{0{,}5+\varepsilon }$ .

В 1984 году А. А. Карацуба доказал^[14]^[15]^[16], что при фиксированном $\varepsilon$ с условием $0<\varepsilon <0{,}001$ , достаточно большом $T$ и $H=T^{a+\varepsilon }$ , $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ промежуток $(T,T+H)$ содержит не менее $cH\ln T$ вещественных нулей дзета-функции Римана $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}$ . Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при $T\to +\infty$ .

В 1992 году А. А. Карацуба доказал,^[17] что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков $(T,T+H]$ , $H=T^{\varepsilon }$ , где $\varepsilon$ — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках $(T,T+H]$ , длина $H$ которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени $T$ . В частности, он доказал, что для любых заданных чисел $\varepsilon$ , $\varepsilon _{1}$ с условием $0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1$ почти все промежутки $(T,T+H]$ при $H\geqslant \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}$ содержат не менее $H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}$ нулей функции $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ . Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Интересные факты

Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснётся. Математик ответил, что первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.
Гипотеза Римана относится к знаменитым открытым проблемам математики, в число которых в своё время входила и теорема Ферма. Как известно, Ферма сделал запись о том, что доказал свою теорему, не оставив самого доказательства, и тем самым бросил вызов следующим поколениям математиков. Британский математик Г. Х. Харди использовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения собственной безопасности во время морских путешествий. Каждый раз перед отправкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телеграмму: «Доказал гипотезу Римана. Подробности по возвращении.» Харди считал, что Бог не допустит повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему благополучно вернуться из плавания^[18].

Отображение в искусстве

В пятой серии первого сезона сериала «Числа» один из героев пытался решить эту задачу, и преступники надеялись с помощью его решения гипотезы Римана вскрывать шифры.

См. также

Открытые математические проблемы

Примечания

↑ Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Rules for the Millennium Prizes Архивная копия от 10 декабря 2011 на Wayback Machine
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273—275, doi:10.4169/193009709X470128
↑ Jeffrey C. Lagarias (2002). “An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis”. The American Mathematical Monthly. 109 (6): 534—543. DOI:10.2307/2695443. JSTOR 2695443. MR 1908008.
↑ Andrew Odlyzko, Herman te Riele (1985). “Disproof of the Mertens conjecture”. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 357: 138—160. MR 0783538. (недоступная ссылка)
↑ Weisstein, Eric W. Lehmer's Phenomenon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» (англ.)
↑ Стюарт, 2016, с. 245.
↑ Deligne P. (1974). “La conjecture de Weil. I”. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43: 273—307. DOI:10.1007/BF02684373. MR 0340258.
↑ Sheats J. (1998). “The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for F_q[T]”. Journal of Number Theory. 71 (1): 121—157. DOI:10.1006/jnth.1998.2232.
↑ Hardy, G.H. (1914). “Sur les zeros de la fonction $\zeta (s)$ ”. Comp. Rend. Acad. Sci. (158): 1012—1014.
↑ Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1921), "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line", Math. Z. Т. 10 (3–4): 283–317, DOI 10.1007/BF01211614
↑ Selberg, A. (1942). “On the zeros of Riemann's zeta-function”. Shr. Norske Vid. Akad. Oslo (10): 1—59.
↑ Карацуба, А. А. (1984). “О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой”. Изв. РАН. Сер. матем. (48:3): 569—584.
↑ Карацуба, А. А. (1984). “Распределение нулей функции ζ(1/2 + it)”. Изв. РАН. Сер. матем. (48:6): 1214—1224.
↑ Карацуба, А. А. (1985). “О нулях дзета-функции Римана на критической прямой”. Труды МИАН (167): 167—178.
↑ Карацуба, А. А. (1992). “О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой”. Изв. РАН. Сер. матем. (56:2): 372—397.
↑ С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

Ссылки

Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.
Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. — 2005. — Вып. 35.
Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis - official problem description, Clay Mathematics Institute, <https://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf>. Проверено 10 сентября 2017.
Conrey, Brian (2003), "The Riemann Hypothesis", Notices of the American Mathematical Society: 341–353, <http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf>
Sarnak, Peter (2008), "Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis", in Borwein, Peter; Choi, Stephen & Rooney, Brendan et al., The Riemann Hypothesis, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, с. 107–115, ISBN 978-0387721255, <https://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf>
Dr Matthew Watkins. proposed (dis)proofs of the Riemann Hypothesis (предложенные доказательства и опровержения гипотезы Римана) (неопр.). Проверено 28 февраля 2016.

Литература

Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.
Джон Дербишир. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2026
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[MW-1] Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[2] Rules for the Millennium Prizes Архивная копия от 10 декабря 2011 на Wayback Machine

[3] Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273—275, doi:10.4169/193009709X470128

[4] Jeffrey C. Lagarias (2002). “An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis”. The American Mathematical Monthly. 109 (6): 534—543. DOI:10.2307/2695443. JSTOR 2695443. MR 1908008.

[5] Andrew Odlyzko, Herman te Riele (1985). “Disproof of the Mertens conjecture”. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 357: 138—160. MR 0783538. (недоступная ссылка)

[6] Weisstein, Eric W. Lehmer's Phenomenon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[7] Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» (англ.)

[_5594dd5de42ac5da-8] Стюарт, 2016, с. 245.

[9] Deligne P. (1974). “La conjecture de Weil. I”. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43: 273—307. DOI:10.1007/BF02684373. MR 0340258.

[10] Sheats J. (1998). “The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for F_q[T]”. Journal of Number Theory. 71 (1): 121—157. DOI:10.1006/jnth.1998.2232.

[11] Hardy, G.H. (1914). “Sur les zeros de la fonction $\zeta (s)$ ”. Comp. Rend. Acad. Sci. (158): 1012—1014.

[12] Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1921), "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line", Math. Z. Т. 10 (3–4): 283–317, DOI 10.1007/BF01211614

[13] Selberg, A. (1942). “On the zeros of Riemann's zeta-function”. Shr. Norske Vid. Akad. Oslo (10): 1—59.

[14] Карацуба, А. А. (1984). “О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой”. Изв. РАН. Сер. матем. (48:3): 569—584.

[15] Карацуба, А. А. (1984). “Распределение нулей функции ζ(1/2 + it)”. Изв. РАН. Сер. матем. (48:6): 1214—1224.

[16] Карацуба, А. А. (1985). “О нулях дзета-функции Римана на критической прямой”. Труды МИАН (167): 167—178.

[17] Карацуба, А. А. (1992). “О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой”. Изв. РАН. Сер. матем. (56:2): 372—397.

[18] С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8