WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в $\mathbb {R} ^{n}$ является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в $\mathbb {R} ^{n}$ этой функцией.

Определение

Пусть $f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}$ . Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции $f$ на отрезке $[a,\;b]$ называется следующая величина:

V_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\|f(x_{k+1})-f(x_{k})\|,

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям $P$ отрезка $[a,\;b]$ длин ломаных в $\mathbb {R} ^{n}$ , концы которых соответствуют значениям $f$ в точках разбиения.

Связанные определения

Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается $V[a,\;b]$ $V[a,\;b]$ или просто $V$ $V$ .
- В таком случае определена функция $v(x)=V_{a}^{x}f$ , называющаяся функцией полной вариации для $f$ .
Положительная вариация вещественнозначной функции $f$ на отрезке $[a,\;b]$ называется следующая величина:
$P_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.$
Аналогично определяется отрицательная вариация функции:
$N_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}-\inf \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\min\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.$
Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы
$V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.$

Свойства функций ограниченной вариации

Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию. Частное двух функций из $V$ будет иметь ограниченную вариацию (другими словами, принадлежать классу $V$ ), если модуль знаменателя будет больше, чем положительная постоянная на отрезке $[a,\;b]$ .
Если $a<x\leqslant y<b$ , а $f\in V[a,\;b]$ , то $V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f$ .
Если функция $f$ непрерывна в точке $a$ справа и принадлежит $V[a,\;b]$ , то $\lim \limits _{x\to a{+}}v(x)=0$ .
Функция $f(x)$ , заданная на отрезке $[a,\;b]$ , является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей на $[a,\;b]$ функции (разложение Жордана).
Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все первого рода.
Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

Все эти свойства были установлены Жорданом^[1]^[2].

Вычисление вариации

Вариация непрерывно дифференцируемой функции

Если функция $f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}$ принадлежит классу $C^{1}$ , то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке $[a,\;b]$ , то $f$ — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

\int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,

то есть равна интегралу нормы производной.

История

Функции ограниченной вариации изучались К. Жорданом^[1].

Первоначально класс функций с ограниченной вариацией был введён К. Жорданом в связи с обобщением признака Дирихле сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Жордан доказал, что ряды Фурье $2\pi$ -периодических функций класса $V[0,\;2\pi ]$ сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса.

Вариации и обобщения

Длина кривой определяется как естественное обобщение вариации на случай отображений в метрическое пространство.

В случае нескольких переменных существует несколько различных определений вариации функции:
- вариация Фреше,
- плоская вариация Тонелли.

Φ-вариация функции

Рассматривается также класс $V_{\Phi }[a,\;b]$ , который определяется следующим образом:

V_{\Phi \,a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{a\leqslant x\leqslant b}\sum \limits _{k=1}^{n}\Phi (|f(x_{k})-f(x_{k-1})|),

где $\Phi (x)$ ( $x\geqslant 0,\;\Phi (0)=0$ ) — положительная при $x>0$ монотонно возрастающая непрерывная функция;

$a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b$ — произвольное разбиение отрезка $[a,\;b]$ .

Величина $V_{\Phi \,a}^{b}f$ называется $\Phi$ -вариацией функции $f(x)$ на отрезке $[a,\;b]$ .

Если $V_{\Phi \,a}^{b}f<\infty$ , то функция $f(x)$ обладает ограниченной $\Phi$ -вариацией на отрезке $[a,\;b]$ . Класс всех таких функций обозначается через $V_{\Phi }[a,\;b]$ или просто как $V_{\Phi }$ ^[3]. Определение класса $V_{\Phi }[a,\;b]$ предложено Л. Янгом (англ.)^[4] (L. С. Young).

Частным случаем классов Янга являются классы Жордана, при этом $\Phi (x)=x$ . Если $\Phi (x)=x^{p}$ при $1<p<\infty$ , то получаются классы $V_{p}$ Н. Винера^[5] (N. Wiener).

Свойства

Если рассмотреть две функции $\Phi _{1}(x)$ и $\Phi _{2}(x)$ такие, что

\varlimsup _{x\to 0^{+}}{\frac {\Phi _{1}(x)}{\Phi _{2}(x)}}<\infty ,

то для их $\Phi$ -вариаций справедливо отношение:

V_{\Phi _{2}}[a,\;b]\subset V_{\Phi _{1}}[a,\;b].

В частности,

V_{x^{p}}\subset V_{x^{q}}\subset V_{\exp(-x^{-\alpha })}\subset V_{\exp(-x^{-\beta })}

при $1\leqslant p<q<\infty ,\;0<\alpha <\beta <\infty$ .

См. также

Литература

Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций / Пер. с франц. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 324 с.
Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 484 с.
Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 936 с.

Примечания

1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230.
↑ Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — С. 234—238. — 484 с.
↑ Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — С. 287. — 936 с.
↑ Young L. С. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1937. — t. 204. — № 7. — p. 470—472.
↑ Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. — 1924. — v. 3. — p. 72—94.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[Jordan-1] 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230.

[2] Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — С. 234—238. — 484 с.

[3] Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — С. 287. — 936 с.

[4] Young L. С. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1937. — t. 204. — № 7. — p. 470—472.

[5] Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. — 1924. — v. 3. — p. 72—94.