WikiSort.ru - Не сортированное

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки ${\displaystyle O}$ , единичного полуинтервала ${\displaystyle \mathbb {P} =(0,1]}$ и произвольного множества ${\displaystyle S}$ заданной мощности ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ , называемой колючестью ежа, как:

${\displaystyle J({\mathfrak {m}})=\{O\}\cup (\mathbb {P} \times S)}$ ,

с введением метрики следующим образом:

1. ${\displaystyle d(O,(x,s))=x}$
2. ${\displaystyle d((x,s_{1}),(y,s_{2}))={\begin{cases}|x-y|,&s_{1}=s_{2}\\x+y,&s_{1}\neq s_{2}\end{cases}}}$ .

Название возникло из-за ассоциации с «иголками» из отрезков, торчащими из точки. «Колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, ${\displaystyle J(0)}$  — просто точка ${\displaystyle O}$ , ${\displaystyle J(1)=J(2)}$  — отрезок.

Свойства

Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества ${\displaystyle S}$ с точностью до гомеоморфизма.

Теорема Ковальского. Счётная степень ежа колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ (при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}}$ ) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ . То есть любое метризуемое пространство веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ гомеоморфно подпространству счётной степени ежа колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ .^[1]

Ёж является полным пространством, также не является вполне ограниченным пространством, при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}}$ ^[2], не сильно паракомпактен при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}>\aleph _{0}}$ ^[3].

Не является локально сепарабельным при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}>\aleph _{0}}$ ^[4].

${\displaystyle J({\mathfrak {m}})}$ вкладывается в ${\displaystyle J({\mathfrak {n}})}$ при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\leq {\mathfrak {n}}}$ .

${\displaystyle J({\mathfrak {m}})}$ вкладывается в плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ только при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}<\aleph _{0}}$ .

Если ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$  — конечно, то вес, плотность, характер, клеточность и число Линделёфа ежа ${\displaystyle J({\mathfrak {m}})}$ равны ${\displaystyle \aleph _{0}}$ . Иначе (при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}}$ ) характер равен ${\displaystyle \aleph _{0}}$ , а вес, плотность, клеточность и число Линделёфа равны ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ^[5].

Интересные факты

Квадрат триода ${\displaystyle J(3)}$ не вкладывается в трёхмерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

На плоскости (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ) нельзя расположить несчётное количество триодов ${\displaystyle J(3)}$ так, чтобы они попарно не пересекались.

Открытое отображение ежа - снова ёж не большей колючести (здесь следует аккуратно понимать совпадающие случаи ${\displaystyle J(1)}$ и ${\displaystyle J(2)}$ ).

См. также

• Теорема о причёсывании ежа

Примечания

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 374-375. — 752 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проверить достоверность указанной в статье информации.