Теорема о причёсывании ежа утверждает, что на сфере невозможно выбрать касательное направление в каждой точке, которое определено во всех точках сферы и непрерывно зависит от точки. Неформально говоря, невозможно причесать свернувшегося клубком ежа так, чтобы у него не торчала ни одна иголка — отсюда и упоминание ежа в названии теоремы.
Теорема является следствием теоремы о неподвижной точке, доказанной в 1912 году Брауэром.
Интересное метеорологическое приложение этой теоремы получается, если рассмотреть ветер как непрерывное векторное поле на поверхности планеты. Рассмотрим идеализированный случай, в котором нормальная к поверхности составляющая поля пренебрежимо мала. Теорема о причёсывании ежа утверждает, что на поверхности планеты всегда будет точка, в которой не будет ветра (нуль касательного векторного поля). Такая точка будет центром циклона или антициклона: ветер будет закручиваться вокруг этой точки (он не может быть направлен к этой точке или из неё). Таким образом, по теореме о причёсывании ежа, если на Земле дует хоть какой-то ветер, то где-то обязательно должен быть циклон.
Не существует непрерывного касательного векторного поля на сфере, которое нигде не обращается в ноль.
Иначе говоря, если — непрерывная функция, задающая касательный к сфере вектор в каждой её точке, то существует хотя бы одна точка такая, что .
Другой вариант «теоремы о еже» выглядит так:
Пусть — ненулевое непрерывное векторное поле на сфере. Тогда существует точка, в которой поле перпендикулярно сфере.
Как следствие теоремы о причёсывании ежа, любое непрерывное отображение сферы на себя либо имеет неподвижную точку, либо отображает некоторую точку на её диаметрально противоположную. Это становится ясно, если преобразовать отображение в непрерывное векторное поле следующим образом.
Пусть — отображение сферы на себя, а — искомое векторное поле. Для любой точки построим стереографическую проекцию точки на касательную плоскость в точке . Тогда — вектор смещения проекции относительно . По теореме о причёсывании ежа, существует такая точка , что , так что .
Доказательство не проходит только, если для некоторой точки противоположна , так как в этом случае нельзя построить её стереографическую проекцию на касательную плоскость в точке .
Существует очень близкое утверждение из алгебраической топологии, основанное на теореме Лефшеца о неподвижных точках. Так как числа Бетти двумерной сферы равны 1, 0, 1, 0, 0, …, то число Лефшеца (полный след на гомологии) тождественного отображения равно 2. Интегрируя векторное поле, мы получим (хотя бы в малой окрестности 0) однопараметрическую группу диффеоморфизмов на сфере, все отображения в которой гомотопны тождественному. Следовательно, все они также имеют число Лефшеца 2, поэтому обладают неподвижными точками (так как их число Лефшеца ненулевое). Можно доказать, что эти точки действительно будут нулями векторного поля. Это подсказывает формулировку более общей теоремы Пуанкаре о векторном поле.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .