WikiSort.ru - Не сортированное

Число Линделёфа - один из кардиналов, характеризующий топологическое пространство. Определяется как наименьший кардинал ${\displaystyle m}$ , такой, что из каждого открытого покрытия пространства ${\displaystyle X}$ можно выбрать подпокрытие мощности не больше ${\displaystyle m}$ ^[1]. Обозначается как ${\displaystyle l(X)}$ . Так как в компактах можно выбрать даже конечное подпокрытие, то число Линделёфа в конечных случаях принимается за ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (конечные случаи, как правило, интереса не представляют). Если число Линделёфа пространства ${\displaystyle X}$ равно ${\displaystyle \aleph _{0}}$ , то ${\displaystyle X}$ называют линделёфовым пространством.

Свойства

1. Число Линделёфа пространства ${\displaystyle X}$ не выше сетевого веса ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (l(X)\leqslant nw(X))}$ ^[1]
2. Мощность хаусдорфова пространства ${\displaystyle X}$ не больше, чем ${\displaystyle 2^{l(X)*\chi (X)}}$ , где ${\displaystyle \chi (X)}$  — характер топологического пространства ${\displaystyle X}$ ^[2]

Примеры

1. ${\displaystyle l(\mathbb {R} ^{n})=\aleph _{0}}$
2. ${\displaystyle l(L)=2^{\aleph _{0}}}$ , где ${\displaystyle L}$ - Плоскость Немыцкого
3. ${\displaystyle l(J(m))=m}$ , где ${\displaystyle J(m)}$ - ёж колючести ${\displaystyle m}$
4. Число Линделёфа прямой Зоргенфрея счётно
5. Число Линделёфа квадрата прямой Зоргенфрея равно континууму

Примечания

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 290-293. — 752 с.