WikiSort.ru - Не сортированное

Трёхмерный случай

Для расчёта энергетического спектра экситона Ванье — Мотта воспользуемся простейшей моделью. Поскольку расстояние между электроном и дыркой велико, то можно пользоваться методом эффективной массы. Будем считать массы электрона и дырки изотропными, а взаимодействие между ними — определяемым законом Кулона. Тогда уравнение Шрёдингера для такой системы будет иметь вид:

${\displaystyle \left({\frac {{\hat {p}}_{e}^{2}}{2m_{e}}}+{\frac {{\hat {p}}_{h}^{2}}{2m_{h}}}-{\frac {e^{2}}{{\varepsilon }r}}\right)\Psi =E\Psi }$

Замена переменных, разделяющая поступательное движение центра масс и вращательное движение частиц вокруг центра масс, приводит уравнение к виду

${\displaystyle \left({\frac {{\hat {p}}_{ex}^{2}}{2\mu }}-{\frac {e^{2}}{{\varepsilon }r}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=\left(E-{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}\right)\Phi (\mathbf {r} )}$

Здесь ${\displaystyle M=m_{e}+m_{h}}$ , ${\displaystyle \mu =\left({\tfrac {1}{m_{e}}}+{\tfrac {1}{m_{h}}}\right)^{-1}}$  — приведённая масса, ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{e}-\mathbf {r} _{h}}$ .

Данное уравнение аналогично уравнению Шрёдингера для атома водорода. Отсюда следует, что дисперсионная зависимость энергии экситона имеет вид

${\displaystyle E_{n}(k_{ex})=-{\frac {{\mu }e^{4}}{2\hbar ^{2}\varepsilon ^{2}n^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}=-{\frac {R_{ex}}{n^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}}$

Величина ${\displaystyle R_{ex}={\tfrac {\mu e^{4}}{2\hbar ^{2}\varepsilon ^{2}}}}$ по аналогии с Ридбергом для атома водорода называется экситонным Ридбергом.

Двумерный случай

Влияние экранирования

При больших концентрациях носителей заряда в полупроводнике существенным становится экранирование кулоновского взаимодействия и может происходить разрушение экситонов Ванье — Мотта. При наличии свободных носителей потенциал кулоновского взаимодействия имеет вид

${\displaystyle V(r)={e^{2} \over \varepsilon r}e^{-r/r_{D}}}$ ,

где ${\displaystyle r_{D}={\mathcal {E}}kT/4\pi e^{2}N}$  — дебаевский радиус экранирования. Здесь ${\displaystyle N}$  — концентрация свободных носителей заряда.

Если радиус первого экситонного состояния с ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle a_{ex}={\tfrac {\hbar ^{2}\varepsilon }{\mu e^{2}}}}$ (боровский радиус экситона Ванье — Мотта), то условие исчезновения экситонной серии вследствие экранировки: ${\displaystyle a_{ex}>r_{D}}$ . Для экситона Ванье — Мотта в кристаллах ${\displaystyle Ge}$ это условие выполняется при концентрации доноров ~10¹⁷ см⁻³ и Т=77 К. Таким образом, для наблюдения слабосвязанных экситонов в полупроводниках необходимы низкие температуры и чистые кристаллы.

Проявления экситонного спектра

Экситоны Ванье — Мотта отчётливо проявляются в спектрах поглощения полупроводников в виде узких линий, сдвинутых на величину ${\displaystyle E_{n}}$ ниже края оптического поглощения. Водородоподобный спектр экситонов Ванье — Мотта впервые наблюдался в спектре поглощения Cu₂O в 1952 году E. Ф. Гроссом и H. А. Карыевым и независимо — M. Хаяси (M. Hayasi) и К. Кацуки (К. Katsuki), но экситонная интерпретация его в работе японских авторов отсутствовала. Экситоны проявляются также в спектрах люминесценции, в фотопроводимости, в эффекте Штарка и эффекте Зеемана.