WikiSort.ru - Не сортированное

Деба́евская длина (дебаевский радиус) — расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в квазинейтральной среде, содержащей свободные положительно и отрицательно заряженные частицы (плазма, электролиты). Вне сферы радиуса дебаевской длины электрическое поле экранируется в результате поляризации окружающей среды (поэтому это явление еще называют экранировкой Дебая).

Дебаевская длина определяется формулой (СГС):

${\displaystyle d=\left\{\sum _{j}{4\pi q_{j}^{2}n_{j} \over kT_{j}}\right\}^{-1/2}}$

(СИ) :

где: ${\displaystyle q_{j}}$ , ${\displaystyle n_{j}}$ , ${\displaystyle T_{j}}$  — электрический заряд, концентрация частиц и температура частиц типа ${\displaystyle j}$ ; ${\displaystyle k}$ , ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$  — постоянная Больцмана и диэлектрическая проницаемость вакуума. Суммирование идет по всем сортам частиц, при этом должно выполняться условие нейтральности: ${\displaystyle \sum {q_{j}n_{j}}=0}$ . Важным параметром среды является число частиц в сфере радиуса дебаевской длины:

${\displaystyle n_{D}={4\pi \over 3}d^{3}\sum _{j}n_{j}}$

Оно характеризует отношение средней кинетической энергии частиц к средней энергии их кулоновского взаимодействия:

${\displaystyle n_{D}\thicksim (E_{\rm {kinetic}}/E_{\rm {coulomb}})^{3/2}}$

Для электролитов это число мало: ${\displaystyle n_{D}\thicksim 10^{-4}}$ ; для плазмы, находящейся в самых различных физических условиях, — велико. Это позволяет использовать методы кинетической теории для описания плазмы.

Понятие дебаевской длины введено Петером Дебаем в связи с изучением явлений электролиза.

Физический смысл

В системе из ${\displaystyle N}$ различных типов частиц, частицы ${\displaystyle j}$ -й разновидности переносят заряд ${\displaystyle q_{j}}$ и имеют концентрацию ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ в точке ${\displaystyle \mathbf {r} }$ . В первом приближении эти заряды можно рассматривать как непрерывную среду, характеризующуюся только своей диэлектрической проницаемостью ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ . Распределение зарядов в такой среде создаёт электрическое поле с потенциалом ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ , удовлетворяющим уравнению Пуассона:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )}$ ,

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ это диэлектрическая постоянная.

Подвижные заряды не только создают потенциал ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ , но также движутся под действием кулоновской силы, ${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$ . В дальнейшем будем считать, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом с температурой ${\displaystyle T}$ , тогда концентрации зарядов, ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ , могут быть рассмотрены как термодинамические величины, а соответствующий электрический потенциал, как соответствующий самосопряженному полю. В этих допущениях, концентрация ${\displaystyle j}$ -й разновидности частиц описывается Больцмановским распределением,

${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)}$ ,

где ${\displaystyle k_{B}}$ есть постоянная Больцмана, а ${\displaystyle n_{j}^{0}}$ средняя концентрация зарядов типа ${\displaystyle j}$ . Взяв в уравнении Пуассона вместо мгновенных значений концентрации и поля их усреднённые значения получаем уравнение Пуассона-Больцмана:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)}$ .

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Более общее решение может быть получено в пределе слабой связи, ${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{B}T}$ , разложением экспоненты в ряд Тейлора:

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}}$ .

В результате чего получается линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,k_{B}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}}$

также известное как уравнение Дебая — Хюккеля.^{[1][2][3][4][5]} Второе слагаемое в правой части уравнения исчезает в случае электронейтральности системы. Слагаемое в скобках имеет размерность обратного квадрата длины, что естественным образом приводит нас к определению характерной длины:

${\displaystyle \lambda _{D}=\left({\frac {\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,k_{B}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$

обычно называемой Дебаевским радиусом (или Дебаевской длиной). Стоит отметить, что все типы зарядов вносят положительный вклад в Дебаевскую длину вне зависимости от их знака.

Некоторые значения дебаевских длин

См. также

• Двойной электрический слой

Ссылки

Литература

• Арцимович Л. А. Элементарная физика плазмы. — 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969. — 189 с.