WikiSort.ru - Не сортированное

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике^[1].

Центроид традиционно обозначается латинской буквой ${\displaystyle M}$ . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга^[en], как точка X(2).

Свойства

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
• Если ${\displaystyle M}$  — центроид треугольника ${\displaystyle ABC}$ то для любой точки ${\displaystyle O}$ верно равенство

  ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{3}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})}$ .

• Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
• Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
• Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
• При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
• Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
• Пусть ABC — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника ABC, называется окружностью Парри треугольника ABC.
• Три чевианы, проведённые через произвольную точку ${\displaystyle O}$ внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка ${\displaystyle O}$ совпадает с центроидом^[2].
• Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$ ^[3]

• Пусть q_a, q_b и q_c — расстояния от центроида до сторон с длинами, соответственно равными a, b и c. Тогда^[4]:173

${\displaystyle {\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\ \ \ \ {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\ \ \ \ {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}}$

и

${\displaystyle q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}S}$ ,

где S — площадь треугольника.

История

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике

• Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

• Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности^[5].
• У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади G_a, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин G_v и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле^[6]

${\displaystyle PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.}$

См. также

• Барицентр
• Центр тяжести
• Центр масс
• Ортоцентр
• Инцентр
• Замечательные точки треугольника
• Геометрия треугольника

Примечания

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble