В теории чисел теорема Прота является тестом простоты для чисел Прота.
Теорема Прота гласит:
Если p — это число Прота вида , где k — нечётно и , то p — простое (называемое простым Прота) тогда и только тогда, когда для некоторого квадратичного невычета a выполняется сравнение: |
(а) Пусть p — простое. Тогда для любого квадратичного невычета a: по критерию Эйлера.
(б) Пусть для некоторого квадратичного невычета a. Используем критерий Поклингтона, где . Тогда — единственный простой делитель . Проверим выполнение условий критерия:
Так как условие выполнено, n — простое. [1]
Теорема Прота может быть использована для тестирования простоты чисел Прота. Алгоритм вероятностного теста, основанного на теореме, выглядит следующим образом: Случайным образом выбирается целое число , такое что и вычисляет . Возможны следующие исходы:
Исход (4) является причиной того, что тест вероятностный. В случае (1) — квадратичный невычет по модулю . Процедура повторяется пока простота не будет установлена. Если — простое, то тест с вероятностью подтвердит это за одну итерацию, так как количество квадратичных невычетов по модулю ровно . [2]
Простые числа Прота образуют последовательность:
На май 2017 года, крупнейшее известное простое Прота, 10223 · 231172165 + 1, найдено проектом Primegrid. Оно имеет 9383761 десятичных цифр и является крупнейшим известным простым, не являющимся простым Мерсенна.[3]
Лемма. Пусть для некоторого простого l и . Пусть — степень простого числа, где . Если и , то n — простое.
Теорема (обобщенная теорема Прота). Пусть для некоторого простого и целых . Пусть . Если и для некоторого целого , то — простое.
Доказательство обобщенной теоремы можно найти в работе Sze[4].
Франсуа Прот (1852—1879) опубликовал теорему около 1878 года.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .