WikiSort.ru - Не сортированное

Производящая функция 1-го типа

Пусть ${\displaystyle F_{1}(q,Q,t)}$  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0,}$

кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$ , тогда пара ${\displaystyle (F_{1},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу

${\displaystyle p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}},}$

${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.}$

Связь с исходной производящей функцией:

${\displaystyle F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).}$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)\neq 0.}$

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа

Пусть ${\displaystyle F_{2}(q,P,t)}$  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0.}$

кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$ , тогда пара ${\displaystyle (F_{2},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу

${\displaystyle p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q}},}$

${\displaystyle Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P}},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.}$

Связь с исходной производящей функцией:

${\displaystyle F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).}$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial P}{\partial p}}\right)\neq 0.}$

Производящая функция 3-го типа

Пусть ${\displaystyle F_{3}(p,Q,t)}$  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial p\,\partial Q}}\right)\neq 0.}$

кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$ , тогда пара ${\displaystyle (F_{3},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу

${\displaystyle q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}},}$

${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.}$

Связь с исходной производящей функцией:

${\displaystyle F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).}$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial Q}{\partial q}}\right)\neq 0.}$

Производящая функция 4-го типа

Пусть ${\displaystyle F_{4}(p,P,t)}$  — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{4}}{\partial p\,\partial P}}\right)\neq 0.}$

кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$ , тогда пара ${\displaystyle (F_{4},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу

${\displaystyle q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{4}}{\partial p}},}$

${\displaystyle Q={\frac {\partial F_{4}}{\partial P}},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}.}$

Связь с исходной производящей функцией:

${\displaystyle F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p,P,t).}$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)\neq 0.}$

Примеры

1. Тождественное преобразование

${\displaystyle Q=q,}$

${\displaystyle P=p,}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=H}$

может быть получено при:

${\displaystyle F_{2}=qP,\quad c=1.}$

2. Если задать

${\displaystyle F_{1}=-\alpha qP,\quad c=-\alpha \beta ,}$

то полученное преобразование будет иметь вид:

${\displaystyle Q=\alpha p,}$

${\displaystyle P=\beta q.}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\alpha \beta H}$

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

${\displaystyle Q=-q,}$

${\displaystyle P=-p,}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=H}$

может быть получено при:

${\displaystyle F_{2}=-qP,\quad c=1.}$

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

${\displaystyle F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,}$

тогда

${\displaystyle Q=\varphi (q,t).}$

В частности, если

${\displaystyle F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,}$

где ${\displaystyle A,}$  — ортогональная матрица:

${\displaystyle A^{T}A=E,}$

то

${\displaystyle Q=Aq,}$

${\displaystyle P=A^{T}p.}$

К точечным преобразования приводит и функция:

${\displaystyle F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,}$

тогда

${\displaystyle q=-\phi (Q,t).}$

В частности функция

${\displaystyle F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,}$

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных ${\displaystyle (p,q)}$ системы с одной степенью свободы:

${\displaystyle Q=\alpha q+\beta p}$

${\displaystyle P=\gamma q+\delta p}$

является унивалентным каноническим преобразованием при

${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

производящая функция:

${\displaystyle F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2}.}$

Такие преобразования образуют специальную линейную группу ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ .