WikiSort.ru - Не сортированное

Лемма Цорна (иногда лемма Куратовского — Цорна) — одно из утверждений, эквивалентных аксиоме выбора, наряду с теоремой Цермело (принципом вполнеупорядочивания) и принципом максимума Хаусдорфа (который, по сути, является альтернативной формулировкой леммы Цорна).

Носит имя немецкого математика Макса Цорна, часто упоминается также под именем польского математика Казимира Куратовского, сформулировавшего близкое утверждение раньше^[⇨].

Формулировка: частично упорядоченное множество, в котором любая цепь имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент. Существует ряд эквивалентных альтернативных формулировок^[⇨].

История

Аналогичные и равносильные лемме Цорна утверждения предлагались математиками намного ранее Цорна. Так, в 1904 году Эрнст Цермело доказал теорему, согласно которой каждое множество может быть вполне упорядочено. Для доказательства он привлек «неоспоримый логический принцип», который назвал аксиомой выбора. Принцип максимума Хаусдорфа, сформулированный и доказанный им в 1914 году, является альтернативной и более ранней формулировкой леммы Цорна.

В 1922 году Куратовский доказал лемму в формулировке, близкой к современной (для семейства множеств, упорядоченных по включению и замкнутых относительно объединения вполне упорядоченных цепей). Практически то же утверждение (в более слабой формулировке — не для вполне упорядоченных цепей, а для произвольных) независимо от него было сформулировано Цорном в 1935 году в статье «Об одном методе из трансфинитной алгебры». Сам Цорн называл его «принципом максимума», предлагал включить его в состав аксиом теории множеств и использовать для доказательства различных теорем теории полей вместо принципа вполнеупорядочивания Цермело.

Название «лемма Цорна» впервые ввёл Джон Тьюки в 1940 году.

Формулировки

Существует несколько альтернативных формулировок леммы Цорна.

Основная: если в частично упорядоченном множестве ${\displaystyle M}$ для всякого линейного упорядоченного подмножества существует верхняя грань, то в ${\displaystyle M}$ существует максимальный элемент.

В приложениях наиболее удобна формулировка, утверждающая существование максимального элемента, который не меньше заданного: если всякая цепь в частично упорядоченном множестве ${\displaystyle M}$ имеет верхнюю грань, то всякий элемент из ${\displaystyle M}$ предшествует некоторому максимальному.

В оригинальной статье 1935 года Цорн сформулировал утверждение для множеств, частично упорядоченных по отношению включения: если семейство множеств ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ обладает тем свойством, что объединение любой цепи множеств из ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ есть снова множество из этого семейства, то ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ содержит максимальное множество.

Применения

Во многих задачах лемма Цорна является наиболее удобной из всех формулировок, эквивалентных аксиоме выбора, в частности, используется в доказательстве следующих теорем:

• теорема Хана — Банаха о продолжении линейного функционала;
• теорема о существовании базиса Га́меля в произвольном линейном пространстве;
• теорема Тихонова;
• теорема о существовании алгебраического замыкания произвольного поля;
• теорема о существовании максимального идеала в кольце с единицей.

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
• Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — гл. IV,V, 616 с.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4..
• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — 4-е изд. — М.: УРСС, 2007. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2..