Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, заданная конечной системой образующих, то есть такая коммутативная группа , для которой существует конечный набор , такой что существует представление:
где — целые числа.
Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, возможность свести к ним рассмотрение тех или иных объектов считается ценной. Примеры — целые числа и числа по модулю , любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой. Согласно теореме о классификации , других (с точностью до изоморфизма) конечнопорождённых абелевых групп — нет. Например, группа рациональных чисел не является конечнопорожденной: если бы существовала порождающая система , то достаточно было бы взять натуральное число , взаимно простое со всеми знаменателями чисел из системы, чтобы получить , не порождаемое системой .
Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп (являющаяся частным случаем классификации конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов) утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида:
где , и числа являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения однозначно определены (с точностью до порядка) группой , в частности, конечна тогда и только тогда, когда .
На основании того факта что будет изоморфно произведению и тогда и только тогда, когда и взаимно просты и , мы также можем представить любую конечнопорождённую группу в форме прямого произведения
где делит , который делит и так далее до . И снова, числа и однозначно заданы группой .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .