WikiSort.ru - Не сортированное

Эту страницу предлагается объединить со страницей Двойственное преобразование. Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К объединению/9 сентября 2018. Обсуждение длится не менее недели (подробнее). Не удаляйте шаблон до подведения итога обсуждения.

Принцип двойственности в проективной геометрии — набор утверждений, устанавливающих соответствия между различными объектами в проективных пространствах (например, подпространствами различных размерностей) и их свойствами. Таким образом, если в проективной геометрии доказана теорема A, а утверждение B двойстенно к A, то B также доказано. Например, на проективной плоскости двойственными объектами являются «точка» и «прямая», а свойству «точка лежит на прямой» соответствует двойственное свойство «прямая проходит через точку».

Формулировка

• Если для всех проективных пространств одной и той же размерности n над одним и тем же полем доказана теорема, в формулировке которой участвуют лишь понятия проективного подпространства, размерности, проективной оболочки и пересечения, то для всех таких пространств справедлива двойственная теорема, получающаяся из исходной следующей заменой:^[1]

размерность m	размерность n-m-1
пересечение ${\displaystyle P_{1}\cap P_{2}}$	проективная оболочка ${\displaystyle {\overline {P_{1}\cup P_{2}}}}$
проективная оболочка ${\displaystyle {\overline {P_{1}\cup P_{2}}}}$	пересечение ${\displaystyle P_{1}\cap P_{2}}$

• Принцип двойственности допускает обобщение на проективные алгебраические многообразия. В частности, для квадрик в проективном пространстве имеет место следующее утверждение: множество касательных гиперплоскостей к невырожденной квадрике в проективном пространстве ${\displaystyle P(L)}$ образует невырожденную квадрику в пространстве ${\displaystyle P(L^{*})}$ (звёздочка, как обычно, означает сопряжённое пространство)^[2]. Таким образом, принцип двойственности можно дополнить следующими пунктами:

невырожденная квадрика в ${\displaystyle P(L)}$	невырожденная квадрика в ${\displaystyle P(L^{*})}$
точка содержится в невырожденной квадрике	гиперплоскость касается невырожденной квадрики

История

Принцип двойственности в проективную геометрию ввел Жергонн в 1810 г.^[3]

Примеры

• Двойственными утверждениями в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля и Брианшона. Теорема Паскаля утверждает, что во всяком шестивершиннике, вписанном в линию 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой. Теорема Брианшона утверждает, что во всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
• Двойственным утверждением к теореме Дезарга является теорема, обратная к теореме Дезарга. Поэтому, в силу принципа двойственности, если в некоторой проективной геометрии теорема Дезарга верна, то верно и её обращение.

См. также

• Дуальное преобразование
• Сопряжённое пространство

Примечания

Литература

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.