WikiSort.ru - Не сортированное

Односторонний предел по Гейне

• Число ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ в точке ${\displaystyle a}$ , если для всякой последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ , состоящей из точек, больших числа ${\displaystyle a}$ , которая сама сходится к числу ${\displaystyle a}$ , соответствующая последовательность значений функции ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ сходится к числу ${\displaystyle A}$ .

  ${\displaystyle \lim _{x\to a+0}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \colon x_{k}>a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A}$

• Число ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ в точке ${\displaystyle a}$ , если для всякой последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ , состоящей из точек, меньших числа ${\displaystyle a}$ , которая сама сходится к числу ${\displaystyle a}$ , соответствующая последовательность значений функции ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ сходится к числу ${\displaystyle A}$ .^[1]

  ${\displaystyle \lim _{x\to a-0}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \colon x_{k}<a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A}$

Односторонний предел по Коши

• Число ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ в точке ${\displaystyle a}$ , если для всякого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ отыщется отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для всех точек ${\displaystyle x}$ из интервала ${\displaystyle \left(a,a+\delta \right)}$ справедливо неравенство ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }$ .

  ${\displaystyle \lim _{x\to a+0}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0~\forall x\in \left(a,a+\delta \right)\colon \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }$

• Число ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ в точке ${\displaystyle a}$ , если для всякого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ отыщется отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ , такое, что для всех точек ${\displaystyle x}$ из интервала ${\displaystyle \left(a-\delta ,a\right)}$ справедливо неравенство ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }$ .^[1]

  ${\displaystyle \lim _{x\to a-0}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0~\forall x\in \left(a-\delta ,a\right)\colon \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }$

Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}$ и ${\displaystyle a\in M'.}$ Тогда системы множеств

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}}$

и

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}}$

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

${\displaystyle \lim \limits _{{\mathfrak {B}}_{+}}f(x)\equiv \lim \limits _{x\to a+}f(x);}$

${\displaystyle \lim \limits _{{\mathfrak {B}}_{-}}f(x)\equiv \lim \limits _{x\to a-}f(x).}$