Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.
Формулировка
Пусть даны два пространства с -конечными мерами . Обозначим через их произведение. Пусть функция интегрируема относительно меры . Тогда
- функция определена и интегрируема относительно ;
- функция определена и интегрируема относительно ;
- имеют место равенства
![{\displaystyle \iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\,\int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)\right]\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95400f0b34bca702a965d1344353c1de90172295)
и
![{\displaystyle \iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\,\int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)\right]\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f11c68148a9e9e412675bbca4283db66e38947)
Частные случаи
Теория вероятностей
Пусть — вероятностные пространства, и — случайная величина на . Тогда
![{\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2}}}[X]={\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{1}}}\left[{\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{2}}}[X]\right]={\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{2}}}\left[{\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{1}}}[X]\right],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c5414aea09c244b996453808add0e3ad5d0450)
где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.
Математический анализ
Пусть функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике , то есть . Тогда
![f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c648d5013e87a339f037a0199ed25741b6a86b4e)
![[a,\;b]\times [c,\;d]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea0b8f1390a754fd02e8123ffb7f3c44b9993c8)
![{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c51c144382bd428a1d82af4b83222f035ffd54)
где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.
Доказательство
Любое разбиение множества получено некоторыми разбиениями отрезка и отрезка , при этом объём любого прямоугольника определяется , где ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла
![X=[a,\;b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0376e0080980f0987c4534611ccccf8116f9710f)
![[c,\;d]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8eef5081f39687e139249c6f243c160e4e1dc80)
![{\displaystyle \int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4916810b5f557d0dc99862835d953c8c90ec11)
и нижних и верхних интегральных сумм функции
и
:
Тогда при интегрируемости
по
, то есть равенстве
из вышеуказанных оценок интеграл
также существует и имеет такое же значение, как и
См. также
Литература
- Зорич В.А. Математический анализ. — М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — С. 131—138.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .