WikiSort.ru - Не сортированное

Стоя́чая волна́ — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует^[1].

Стоячая волна (электромагнитная) — периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отраженной волн^[2].

Стоячая волна — колебательный (волновой) процесс в распределённых колебательных системах с характерным устойчивым в пространстве расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Такой колебательный процесс возникает при интерференции нескольких когерентных волн.

Например, стоячая волна возникает при отражении волны от преград и неоднородностей в результате взаимодействия (интерференции) падающей и отражённой волн. На результат интерференции влияют частота колебаний, модуль и фаза коэффициента отражения, направления распространения падающей и отраженной волн друг относительно друга, изменение или сохранение поляризации волн при отражении, коэффициент затухания волн в среде распространения. Строго говоря, стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде распространения (или в активной среде) и полном отражении падающей волны. В реальной же среде наблюдается режим смешанных волн, поскольку всегда присутствует перенос энергии к местам поглощения и излучения. Если при падении волны происходит её полное поглощение, то отраженная волна отсутствует, интерференции волн нет, амплитуда волнового процесса в пространстве постоянна. Такой волновой процесс называют бегущей волной.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе^[3]; в природе — волны Шумана. Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.

• 
  Двумерная стоячая волна на упругом диске. Основная мода.
• 
  Более высокая мода стоячей волны на упругом диске.

В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

${\displaystyle u=u_{0}\cos kx\cos(\omega t-\varphi )}$ ,

где u — возмущения в точке х в момент времени t, ${\displaystyle u_{0}}$  — амплитуда стоячей волны, ${\displaystyle \omega }$  — частота , k — волновой вектор, ${\displaystyle \varphi }$  — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.

Моды

Стоячие волны возникают в резонаторах. Конечные размеры резонатора накладывают дополнительные условия на существование таких волн. В частности, для систем конечных размеров волновой вектор (а, следовательно, длина волны) может принимать лишь определенные дискретные значения. Колебания с определенными значениями волнового вектора называются модами.

Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны.

Математическое описание стоячих волн

В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.

Рассмотрим падающую и отраженную волны в виде:

${\displaystyle y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)}$

${\displaystyle y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t)}$

где:

• y₀ — амплитуда волны,
• ${\displaystyle \omega }$  — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,
• k — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как ${\displaystyle 2\pi }$ поделённое на длину волны ${\displaystyle \lambda }$ ,
• x и t — переменные для обозначения длины и времени.

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y₁ и y₂:

${\displaystyle y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).}$

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

${\displaystyle y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).}$

Если рассматривать моды ${\displaystyle x=0,\lambda /2,3\lambda /2,...}$ и антимоды ${\displaystyle x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...}$ , то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны ${\displaystyle \lambda /2}$ .

Волновое уравнение

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера)

$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u=0}$$

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u=f_{0}u,}$$

где ${\displaystyle f_{0}}$  — выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определенной точке струны, стоячая волна возникает автоматически.

См. также

• Фигуры Хладни
• Интерференция
• Голография
• Длинная линия
• Телеграфные уравнения

Примечания

Ссылки

	Стоячая волна на Викискладе

• Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»

Для улучшения этой статьи по физике желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.