WikiSort.ru - Не сортированное

Магнетизм

Еще одним классическим примером корреляционных функций может служить таковая в системе спинов, где она описывает их среднее по ансамблю скалярное произведение:

${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} \right)=\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle -\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)\right\rangle \left\langle S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle }$ где S — спин частицы, скобки обозначают усреднение по ансамблю.

Даже в парамагнитной фазе спины скоррелированы, так как если расстояние между ними мало, то между спинами имеет место взаимодействие, которое и приводит к тому, что спины являются скоррелированными, однако их дальнейшему упорядочиванию препятствует тепловое движение. Поэтому оказывается, что корреляции между спинами экспоненциально уменьшаются с ростом расстояния между ними:

${\displaystyle G\left(\mathbf {r} \right)\approx {\frac {1}{\mathbf {r} ^{2-d+\eta }}}\exp \left({\frac {-\mathbf {r} }{\xi }}\right))}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$  — расстояние между спинами, d — размерность, ${\displaystyle \eta }$  — т. н. критический индекс. При снижении температуры тепловое движение ослабевает, и радиус корреляции ${\displaystyle \xi }$ cтремится к бесконечности:

${\displaystyle \xi \sim \left|T-T_{c}\right|^{-\nu }}$

где ${\displaystyle \nu }$  — другой критический индекс, ${\displaystyle T_{c}}$  — температура Кюри.

Как следствие данной формулы, в таких системах возникает фазовый переход 2-го рода.

Корреляционная функция плотности числа частиц порядка s

В частности, в качестве примера можно рассмотреть корреляционную функцию плотности числа частиц порядка s - это функция вида

${\displaystyle G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{s}\right)\right\rangle }$

где величина

${\displaystyle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$

называется микроскопической плотностью числа частиц в том смысле, что интегрируя ее по некому объему V, мы можем найти число частиц в нем:

${\displaystyle \int _{V}{\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} =N_{V}}$

В случае s = 2 корреляционная функция плотности числа частиц называется парной.

Связная корреляционная функция плотности числа частиц

Также вводится понятие связной корреляционной функции плотности числа частиц: это такая корреляционная функция, которая стремится к 0, если частицы разделить на 2 группы ${\displaystyle \left(\mathbf {r} _{i_{1}}\dots \mathbf {r} _{i_{l}}\right)}$ и ${\displaystyle \left(\mathbf {r} _{j_{1}}\dots \mathbf {r} _{j_{m}}\right),\ l+m=s}$ после чего устремить разделяющее эти группы расстояние к бесконечности. Термин «связная» означает, что диаграммное разложение для такой корреляционной функции содержит только связные диаграммы.

Имеет место т. н. принцип ослабления корреляций: многочастичные функции распределения классической системы распадаются на произведения многочастичных функций распределения с меньшим числом аргументов при безграничном увеличении разностей соответствующих аргументов^[1], из которого, в частности, следует:

${\displaystyle G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)}$

Следовательно, можно написать следующее выражение для двучастичной связной корреляционной функции плотности числа частиц:

${\displaystyle G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)-G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)}$

Аналогично вводятся связные корреляционные функции плотности более высокого порядка числа частиц:

${\displaystyle G^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)=G_{coh}^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)+G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)}$

Производящий функционал

Для корреляционных функций плотности числа частиц может быть построен производящий функционал:

${\displaystyle G\left(a\right)=\left\langle e^{\int a\left(\mathbf {r} \right){\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} }\right\rangle }$

Тогда корреляционная функция плотности вводится как вариационная производная от производящего функционала:

${\displaystyle G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r_{1}} ,\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\delta ^{s}G\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r_{s}} \right)}}\right|_{a=0}}$

Аналогично может быть введена связная корреляционная функция:

${\displaystyle G_{coh}^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\delta ^{s}W\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r} _{s}\right)}}\right|_{a=0}}$

где

${\displaystyle W\left(a\right)=\ln \left(G\left(a\right)\right)}$

Физический смысл

Корреляционная функция является мерой упорядоченности системы. Она показывает, как микроскопические переменные коррелируют в различные моменты времени в различных точках в среднем.

Физический смысл корреляционной функции плотности числа частиц состоит в том, что она показывает плотность вероятности относительного расположения s частиц. Появление корреляций обусловлено наличием взаимодействия между частицами, за счет которого возникает ближний порядок.

Важно отметить, что имеет место следующее соотношение:

${\displaystyle G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=\left\langle \delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{2}\right)\right\rangle }$

где ${\displaystyle \delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)={\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)-\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\right\rangle }$ есть флуктуация плотности. Таким образом, связная корреляционная функция плотности числа частиц описывает флуктуации плотности вероятности относительного расположения частиц.

Помимо этого, корреляционные функции в самом общем виде могут использоваться для нахождения прочих флуктуаций, например, флуктуаций числа частиц и температуры.