WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Компьютер для операций с математическими функциями (в отличие от обычного компьютера) оперирует с функциями на аппаратном уровне (то есть без программирования этих операций).^[1]^[2]^[3]

История

Вычислительная машина для операций с функциями была предложена и разработана Карцевым в 1967 году^[1]. В число операций этой вычислительной машины входили сложение, вычитание и умножение функций, сравнение функций, аналогичные операции над функцией и числом, отыскание максимума функций, вычисление неопределенного интеграла, вычисление определенного интеграла от производной двух функций, сдвиг функции по абсциссе и т. д. По архитектуре эта вычислительная машина являлась (пользуясь современной терминологией) векторным процессором. В ней использовался тот факт, что многие из этих операций могут быть истолкованы как известные операции над векторами: сложение и вычитание функций — как сложение и вычитание векторов, вычисление определенного интеграла от производной двух функций — как вычисление скалярного произведения двух векторов, сдвиг функций по абсциссе — как поворот вектора относительно осей координат и т. д.^[1] В 1966 году Хмельник предложил метод кодирования функций^[2] , то есть представления функции единым (для функции в целом) позиционным кодом. При этом указанные операции с функциями выполняются как уникальные машинные операции с такими кодами на единственном арифметическом устройстве^[3]

Позиционные коды функций одного аргумента^[2]^[3]

Основная идея

Позиционный код целого числа $A$ представляет собой запись цифр $\alpha$ этого числа в некоторой позиционной системе счисления, имеющую вид

A=\alpha _{0}\alpha _{1}\dots \alpha _{k}\dots \alpha _{n}

Такой код можно назвать линейным. В отличие от него позиционный код функции $F(x)$ одного аргумента $x$ имеет вид

F(x)={\begin{pmatrix}\ &\ &\cdots \\\ &\ &\alpha _{22}\cdots \alpha _{2k}\cdots \\\ &\alpha _{11}&\alpha _{12}\cdots \alpha _{1k}\cdots \\\alpha _{00}&\alpha _{01}&\alpha _{02}\cdots \alpha _{0k}\cdots \end{pmatrix}}

то есть является плоским и треугольным, поскольку цифры в нем образуют треугольник.
Указанному позиционному коду целого числа соответствует сумма вида

A=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\rho ^{k}

,.

где $\rho$ — основание данной системы счисления. Указанному позиционному коду функции одного аргумента соответствует двойная сумма вида

F(x)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=0}^{k}\alpha _{mk}R^{k}y^{k-m}(1-y)^{m}

,

где $R$ — целое положительное число, количество значений цифры $\alpha$ , $y$ — определенная функция аргумента $x$ .
Сложение позиционных кодов чисел связано с передачей переноса в старший разряд по схеме

\alpha _{k}\longrightarrow \alpha _{k+1}

.

Сложение позиционных кодов функций одного аргумента также связано с передачей переноса по схеме

{\begin{pmatrix}\ \ &\alpha _{k+1,m+1}\\\ \nearrow &\ \\\alpha _{k,m}\longrightarrow &\alpha _{k+1,m}\end{pmatrix}}

.

При этом один и тот же перенос передается одновременно в два старших разряда.

R-е треугольные коды

Треугольный код называется R-м (и обозначается как $TK_{R}$ ), если числа $\alpha _{mk}$ принимают значения из множества

D_{R}=\{-r_{1},-r_{1}+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,r_{2}-1,r_{2}\},

где

r_{1},\;r_{2}\geq 0

и

R_{}^{}=r_{1}+r_{2}+1

.

Например, треугольный код является троичным $TK_{3}$ , если $\alpha _{mk}\in (-1,0,1)$ , и — четверичным $TK_{4}$ , если $\alpha _{mk}\in (-2,-1,0,1)$ .
Для R-х треугольных кодов справедливы следующие равенства:

{\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &-a\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}

,

где a — любое число. Существует $TK_{R}$ любого целого действительного числа. В частности, $TK_{R}(\alpha )=\alpha$ . Также существует $TK_{R}$ любой функции вида $y^{k}$ . В частности, $TK_{R}(y^{2})=(0\ 0\ 1)$ .

Одноразрядное сложение

в R-х треугольных кодах состоит в том, что

в данном $(mk)$ -разряде определяется сумма $S_{mk}^{}$ слагаемых разрядов $\alpha _{mk},\ \beta _{mk}$ и двух переносов $p_{m,k-1},\ p_{m-1,k-1}$ , поступивших в данный разряд слева, то есть

S_{mk}^{}=\alpha _{mk}+\beta _{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}

,

эта сумма представляется в виде $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+Rp_{mk}$ , где $\sigma _{mk}\in D_{R}$ ,
$\sigma _{mk}$ записывается в $(mk)$ -разряд суммарного кода, а перенос $p_{mk}$ из данного разряда передается в $(m,k+1)$ -разряд и $(m+1,k+1)$ -разряд.

Эта процедура описывается (как и при одноразрядном сложении чисел) таблицей одноразрядного сложения, где должны присутствовать все значения слагаемых $\alpha _{mk}\in D_{R}$ и $\beta _{mk}\in D_{R}$ и все значения переносов, возникающих при разложении суммы $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+Rp_{mk}$ . Такая таблица может быть синтезирована при $R>2.$
Ниже приведена таблица одноразрядного сложения при $R=3$ :

Smk	TK(Smk)		$\sigma _{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

Одноразрядное вычитание

в R-х треугольных кодах отличается от одноразрядного сложения только тем, что в данном $(mk)$ -разряде величина $S_{mk}^{}$ определяется по формуле

S_{mk}^{}=\alpha _{mk}-\beta _{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}

.

Одноразрядное деление на параметр R

в R-х треугольных кодах основано на использовании соотношения

{\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}}

,

откуда следует, что деление каждого разряда вызывает переносы в два нижних разряда. Следовательно, разрядный результат в этой операции является суммой частного от деления данного разряда на R и переносов из двух верхних разрядов. Таким образом, при делении на параметр R

в данном $(mk)$ -разряде определяется сумма

S_{mk}^{}=\alpha _{mk}/R-p_{m+1,k}/R+p_{m+1,k+1}

,

эта сумма представляется в виде $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}/R$ , где $\sigma _{mk}\in D_{R}$ ,
$\sigma _{mk}$ записывается в $(mk)$ -разряд результирующего кода, а перенос $p_{mk}$ из данного разряда передается в $(m-1,k-1)$ -разряд и $(m-1,k)$ -разряд.

Эта процедура описывается таблицей одноразрядного деления на параметр R, где должны присутствовать все значения слагаемых и все значения переносов, возникающих при разложении суммы $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}/R$ . Такая таблица может быть синтезирована при $R>2.$
Ниже приведена таблица одноразрядного деления на параметр R при $R=3$ :

Smk	TK(Smk)		$\sigma _{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Сложение и вычитание

R-х треугольных кодов состоит (как и в позиционных кодах чисел) в последовательно выполняемых одноразрядных операциях. При этом одноразрядные операции во всех разрядах каждого столбца выполняются одновременно.

Умножение

R-х треугольных кодов. Умножение некоторого кода $TK_{R}'^{}$ на $(mk)$ -разряд другого кода $TK_{R}''^{}$ заключается в $(mk)$ -сдвиге кода $TK_{R}'^{}$ , то есть сдвиге его на k столбцов влево и на m строк вверх. Умножение кодов $TK_{R}'^{}$ и $TK_{R}''^{}$ заключается в последовательных $(mk)$ -сдвигах кода $TK_{R}'^{}$ и сложениях сдвинутого кода $TK_{R}'^{}$ с частичным произведением (как и в позиционных кодах чисел).

Дифференцирование

R-х треугольных кодов. Производная функции $F(x)$ , определенной выше,

{\frac {\partial F(x)}{\partial x}}={\frac {\partial y}{\partial x}}{\frac {\partial F(x)}{\partial y}}

.

Поэтому дифференцирование треугольных кодов функции $F(x)$ заключается в определении треугольного кода частной производной ${\frac {\partial F(x)}{\partial y}}$ и умножении его на известный треугольный код производной ${\frac {\partial y}{\partial x}}$ . Определение треугольного кода частной производной ${\frac {\partial F(x)}{\partial y}}$ основано на соотношении

{\frac {\partial }{\partial x}}{\begin{pmatrix}\ &\ &0\\\ &0&\alpha _{mk}\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ &\ &(k-m)\alpha _{mk}\\\ &0&(k-2m)\alpha _{mk}\\0&0&(-m)\alpha _{mk}\end{pmatrix}}

.

Способ дифференцирования заключается в организации переносов из mk-разряда в (m+1,k)-разряд и в (m-1,k)-разряд, а их суммирование в данном разряде производится аналогично одноразрядному сложению.

Кодирование и декодирование

R-х треугольных кодов. Функция, представленная рядом вида

F(x)=\sum _{k=0}^{n}A_{k}y^{k}

,

с целыми коэффициентами $A_{k}$ , может быть представлена R-м треугольным кодом, так как эти коэффициенты и функции $y^{k}$ имеют R-е треугольные коды (о чем сказано в начале раздела). С другой стороны, R-й треугольный код может быть представлен указанным рядом, так как любое слагаемое $\alpha _{mk}R^{k}y^{k}(1-y)^{m}$ в позиционном разложении функции (соответствующем этому коду) может быть представлено таким же рядом.

Укорочение

R-х треугольных кодов. Так называется операция уменьшения числа ненулевых столбцов. Необходимость укорочения возникает при возникновении переносов за разрядную сетку. Укорочение заключается в делении на параметр R. При этом все коэффициенты представимого кодом ряда уменьшаются в R раз, а дробные части этих коэффициентов отбрасываются. Исчезает также старший член ряда. Такое сокращение допустимо, если известно, что ряды функций являются сходящимися. Укорочение состоит в последовательно выполняемых одноразрядных операциях деления на параметр R. При этом одноразрядные операции во всех разрядах каждой строки выполняются одновременно, а переносы из младшей строки отбрасываются.

Масштабный коэффициент

R-й треугольный код сопровождается масштабным коэффициентом M, аналогичным порядку в числе с плавающей точкой. Коэффициент M позволяет представить все коэффициенты кодируемого ряда в виде целых чисел. Коэффициент M умножается на R при укорочении кода. При сложении коэффициенты M выравниваются, для чего необходимо укорачивать один из слагаемых кодов. При умножении коэффициенты M также умножаются.

Позиционные коды функций многих аргументов^[4]

Рис. 1. Пирамидальный код функции двух аргументов

Позиционный код функции двух аргументов изображен на рис. 1. Ему соответствует тройная сумма вида

F(x,v)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m1=0}^{k}\sum _{m2=0}^{k}\alpha _{m1,m2,k}R^{k}y^{k-m1}(1-y)^{m1}z^{k-m2}(1-z)^{m2}

,

где $R$ — целое положительное число, количество значений цифры $\alpha _{m1,m2,k}$ , а $y(x),~z(v)$ — определенные функции аргументов $x,~v$ соответственно. На рис. 1 узлы соответствуют цифрам $\alpha _{m1,m2,k}$ , а в кружках показаны значения индексов ${m1,m2,k}$ соответствующей цифры. Позиционный код функции двух аргументов называется пирамидальным. Позиционный код называется R-м (и обозначается как $PK_{R}$ ), если числа $\alpha _{m1,m2,k}$ принимают значения из множества $D_{R}$ . При сложении кодов $PK_{R}$ перенос распространяется в четыре разряда и поэтому $R\geq 7$ .

Позиционному коду функции нескольких аргументов соответствует сумма вида

F(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{a})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m_{1}=0}^{k}\ldots \sum _{m_{a}=0}^{k}(\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}R^{k}\prod _{i=1}^{a}(y_{i}^{k-m_{i}}(1-y_{i})^{m_{i}}))

,

Рис. 2. Гиперпирамидальный код функции трех аргументов

где $R$ — целое положительное число, количество значений цифры $\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}$ , а $y_{i}(x_{i})$ — определенные функции аргументов $x_{i}$ . Позиционный код функции нескольких аргументов называется гиперпирамидальным. На рис. 2 показан для примера позиционный гиперпирамидальный код функции трех аргументов. В нем узлы соответствуют цифрам $\alpha _{m1,m2,m3,k}$ , а в кружках показаны значения индексов ${m1,m2,m3,k}$ соответствующей цифры. Позиционный гиперпирамидальный код называется R-м (и обозначается как $GPK_{R}$ ), если числа $\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}$ принимают значения из множества $D_{R}$ . При сложении кодов $GPK_{R}$ перенос распространяется в a-мерный куб, содержащий $2^{a}$ разрядов и поэтому $R\geq (2^{a-1}-1)$ .

Примечания

1 2 3 Малиновский Б. Н. История вычислительной техники в лицах. — Киев, Фирма "КИТ", ПТОО "АСК". — 1995. — ISBN 5-7707-6131-8.
1 2 3 Хмельник С. И. Кодирование функций // Кибернетика, АН УССР. — 1966. — Т. 4.
1 2 3 Хмельник С. И. Компьютерная арифметика функций. Алгоритмы и аппаратура. — Mathematics in Computers. — Россия-Израиль, 2004. — ISBN 978-0-557-07520-1.
↑ Хмельник С. И. Несколько типов позиционных кодов функций // Кибернетика, АН УССР. — 1970. — Т. 5.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[Malinovsky-1] 1 2 3 Малиновский Б. Н. История вычислительной техники в лицах. — Киев, Фирма "КИТ", ПТОО "АСК". — 1995. — ISBN 5-7707-6131-8.

[Khmelnik1-2] 1 2 3 Хмельник С. И. Кодирование функций // Кибернетика, АН УССР. — 1966. — Т. 4.

[Khmelnik2-3] 1 2 3 Хмельник С. И. Компьютерная арифметика функций. Алгоритмы и аппаратура. — Mathematics in Computers. — Россия-Израиль, 2004. — ISBN 978-0-557-07520-1.

[Khmelnik3-4] Хмельник С. И. Несколько типов позиционных кодов функций // Кибернетика, АН УССР. — 1970. — Т. 5.