WikiSort.ru - Не сортированное

Байесовская игра (англ. Bayesian game) или игра с неполной информацией (англ. incomplete information game) в теории игр характеризуются неполнотой информации о соперниках (их возможных стратегиях и выигрышах), при этом у игроков есть веры относительно этой неопределённости. Байесовскую игру можно преобразовать в игру полной, но несовершенной информации, если принять допущение об общем априорном распределении. В отличие от неполной информации, несовершенная информация включает знание стратегий и выигрышей соперников, но история игры (предыдущей действия оппонентов) доступна не всем участникам.

Джон Харсаньи описал байесовские игры следующим образом^[1]. В дополнение к фактическим участникам игры появляется виртуальный игрок «Природа». Природа наделяет каждого из фактических участников случайной переменной, значения которой называются типами. Распределение (плотность или функция вероятности) типов для каждого из игроков известно. В начале игры природа «выбирает» типы игроков. Тип, в частности, определяет функцию выигрыша участника. Таким образом, неполнота информации в байесовской игре — незнание по крайней мере одним игроком типа некого другого участника. Игроки обладают верами относительно типов соперников; вера — вероятностное распределение на множестве возможных типов. В процессе игры веры обновляются в соответствии с теоремой Байеса.

Определение

Игра определяется так: ${\displaystyle G=\langle N,\Omega ,\langle A_{i},u_{i},T_{i},\tau _{i},p_{i},C_{i}\rangle _{i\in N}\rangle }$ , где

1. ${\displaystyle N}$ — множество игроков.
2. ${\displaystyle \Omega }$ — множество состояний природы. Пример состояния природы: порядок колоды в карточной игре.
3. ${\displaystyle A_{i}}$ — множество действий игрока ${\displaystyle i}$ . Пусть ${\displaystyle A=A_{1}\times A_{2}\times \dotsb \times A_{N}}$ .
4. ${\displaystyle T_{i}}$ — множество типов игрока ${\displaystyle i}$ . Тип определяется по правилу ${\displaystyle \tau _{i}\colon \Omega \rightarrow T_{i}}$ .
5. ${\displaystyle C_{i}\subseteq A_{i}\times T_{i}}$ определяет доступные действия для игрока ${\displaystyle i}$ , обладающего неким типом в ${\displaystyle T_{i}}$ .
6. ${\displaystyle u_{i}\colon \Omega \times A\rightarrow R}$ функция выигрыша игрока ${\displaystyle i}$ . Более формально, пусть ${\displaystyle L=\{(\omega ,a_{1},\dotsc ,a_{N})\mid \omega \in \Omega ,\forall i,(a_{i},\tau _{i}(\omega ))\in C_{i}\}}$ , и ${\displaystyle u_{i}\colon L\rightarrow R}$ .
7. ${\displaystyle p_{i}}$ распределение вероятности на ${\displaystyle \Omega }$ для каждого игрока ${\displaystyle i}$ , то есть каждый игрок по-разному оценивает вероятности состояний природы; в течение игры они его не знают.

Чистая стратегия ${\displaystyle s_{i}\colon T_{i}\rightarrow A_{i}}$ должна удовлетворять ${\displaystyle (s_{i}(t_{i}),t_{i})\in C_{i}}$ для всех ${\displaystyle t_{i}}$ . Стратегия каждого игрока зависит только от его типа, так как типы других игроков для него скрыты. Ожидаемый выигрыш игрока ${\displaystyle i}$ при данном стратегическом профиле равен ${\displaystyle u_{i}(S)=E_{\omega \sim p_{i}}[u_{i}(\omega ,s_{1}(\tau _{1}(\omega )),\dotsc ,s_{N}(\tau _{N}(\omega )))]}$ .

Пусть ${\displaystyle S_{i}}$ — множество чистых стратегий, ${\displaystyle S_{i}=\{s_{i}\colon T_{i}\rightarrow A_{i}\mid (s_{i}(t_{i}),t_{i})\in C_{i},\forall t_{i}\}.}$

Байесовское равновесие игры ${\displaystyle G}$ определяется как равновесие Нэша (возможно, в смешанных стратегиях) игры ${\displaystyle {\hat {G}}=\langle N,{\hat {A}}=S_{1}\times S_{2}\times \dotsb \times S_{N},{\hat {u}}=u\rangle }$ . Если игра ${\displaystyle G}$ конечна, байесовское равновесие существует всегда.

Примеры

См. также

• Байесовское программирование
• Байесовский вывод
• Иерархия вер

Примечания

Литература

• Gibbons, Robert. Game Theory for Applied Economists. — Princeton University Press, 1992. — P. 144–52.
• Games with Incomplete Information (неопр.) (2002). Проверено 25 августа 2016.