WikiSort.ru - Не сортированное

Равнове́сие Нэ́ша — концепция решения, одно из ключевых понятий теории игр. Так называется набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники своих стратегий не меняют^[1]. Джон Нэш доказал существование такого равновесия в смешанных стратегиях в любой конечной игре.

История

Эта концепция впервые использована Антуаном Огюстом Курно. Он показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Нэш первым доказал, что подобные равновесия должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. Это было сделано в его диссертации по некооперативным играм в 1950-м году.

До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Математическая формулировка

Допустим, ${\displaystyle (S,H)}$  — некооперативная игра n лиц в нормальной форме, где S — набор чистых стратегий, а H — набор выигрышей. Когда каждый игрок ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$ выбирает стратегию ${\displaystyle x_{i}\in S}$ в профиле стратегий ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n}),}$ игрок i получает выигрыш ${\displaystyle \ H_{i}(x).}$ Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии ${\displaystyle x_{i}}$ , выбранной самим игроком i, но и от чужих стратегий ${\displaystyle x_{-i}}$ , то есть всех стратегий ${\displaystyle x_{j}}$ при ${\displaystyle j\neq i}$ . Профиль стратегий ${\displaystyle x^{*}\in S}$ является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии с ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ на ${\displaystyle x_{i}}$ не выгодно ни одному игроку ${\displaystyle i}$ , то есть для любого ${\displaystyle i}$

${\displaystyle H_{i}(x^{*})\geq H_{i}(x_{i},x_{-i}^{*}).}$

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

Примеры использования понятия

См. также

• Эффективность по Парето
• Парадокс Бертрана
• Эволюционно стабильная стратегия

Примечания

Литература

1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: МГУ, 2005, 272 с.
2. Воробьёв Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М.: Наука, 1985
3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
4. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Это заготовка статьи по экономике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.