WikiSort.ru - Не сортированное

Пример

Пусть обратная функция спроса имеет вид: ${\displaystyle P(q_{1}+q_{2})=a-(q_{1}+q_{2})}$ , а издержки ${\displaystyle C_{i}(q_{i})}$ фирмы i таковы, что ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}^{2}}}=0}$ , ${\displaystyle {\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{j}}}=0,j\neq \ i}$ . Тогда прибыль фирмы i составит:

${\displaystyle \Pi _{i}={\bigg (}a-(q_{1}+q_{2}){\bigg )}.q_{i}-C_{i}(q_{i})}$

Решение задачи максимизации имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial {\bigg (}a-(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{i}}}.q_{i}+a-(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}=0}$

Таким образом, задача фирмы 1:

${\displaystyle {\frac {\partial {\bigg (}a-(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{1}}}.q_{1}+a-(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow \ -q_{1}+a-(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{1}={\frac {a-q_{2}-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2}}}$

Из симметрии рассматриваемой системы:

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{2}={\frac {a-q_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2}}}$

Полученные выражения представляют собой функции наилучших ответов. В равновесии Нэша обе фирмы будут придерживаться стратегий, являющихся решениями пары этих уравнений. Подставляя ${\displaystyle q_{2}}$ в наилучший ответ фирмы 1, получим:

${\displaystyle \ q_{1}={\frac {a-{\bigg (}{\frac {a-q_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2}}{\bigg )}-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{1}^{*}={\frac {a+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}-2\cdot {\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{3}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{2}^{*}={\frac {a+{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}-2\cdot {\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{3}}}$

Равновесием Нэша в этой системе являются объёмы выпуска ${\displaystyle (q_{1}^{*},q_{2}^{*})}$ , а равновесная рыночная цена будет представлять собой величину ${\displaystyle P(q_{1}+q_{2})=a-(q_{1}+q_{2})}$ .