WikiSort.ru - Не сортированное

Аффи́нная свя́зность — линейная связность на касательном расслоении многообразия. Координатными выражениями аффинной связности являются символы Кристоффеля.

На гладком многообразии каждая точка имеет своё касательное пространство. Аффинная связность позволяет рассматривать касательные пространства вдоль одной кривой как принадлежащие одному пространству, эта идентификация называется параллельным перенесением. Благодаря этому, например, могут быть определены операции дифференцирования векторных полей.

Аффинная связность и тензорное исчисление

Подробнее см. статью Ковариантная производная.

В трёхмерном евклидовом пространстве определена операция дифференцирования векторных полей. При определении производной векторного поля на многообразии такой формулой полученная величина не является векторным (тензорным) полем. То есть при замене координат не преобразуется по тензорному закону. Чтобы результат дифференцирования был тензором, вводятся дополнительные поправочные слагаемые. Эти слагаемые известны как символы Кристоффеля.

Определение

Пусть M — гладкое многообразие и ${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$ обозначает пространство векторных полей на M. Тогда аффинная связность на M — это билинейное отображение

${\displaystyle {\begin{matrix}C^{\infty }(M,TM)\times C^{\infty }(M,TM)&\rightarrow &C^{\infty }(M,TM)\\(X,Y)&\mapsto &\nabla _{X}Y,\end{matrix}}}$

такое, что для любой гладкой функции f ∈ C^∞(M,R) и любых векторных полей X, Y на M:

1. ${\displaystyle \nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y}$ , то есть, ${\displaystyle \nabla }$ линейно по первому аргументу;
2. ${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=\mathrm {d} f(X)Y+f\nabla _{X}Y}$ , то есть ${\displaystyle \nabla }$ удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

Связанные определения

• Кручением афинной связности ${\displaystyle \nabla }$ называется выражение

${\displaystyle T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y],}$

где ${\displaystyle [{*},{*}]}$ означает скобку Ли векторных полей.

• Аффинная связность с нулевым кручением на римановом многообразии, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен ${\displaystyle (\nabla g=0)}$ , называется связностью Леви-Чивиты.
• Кривизной афинной связности ${\displaystyle \nabla }$ (или римановой кривизной) называется тензор

  ${\displaystyle R^{\nabla }(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}$

• Аффинная связность с нулевой кривизной называется евклидовой.

Литература

См. также

• Ковариантная производная
• Ковариантное дифференцирование
• Метрическая связность
• Параллельное перенесение
• Символы Кристоффеля

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.