WikiSort.ru - Не сортированное

Свя́зность Ле́ви-Чиви́ты или связность, ассоциированная с метрикой — одна из основных структур на римановом многообразии. Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на римановом многообразии; эквивалентно заданию ковариантного дифференцирования а также параллельного перенесения вдоль кривых.

Определение

Связность Леви-Чивиты есть аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии ${\displaystyle M}$ , относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность ${\displaystyle \nabla }$ на римановом многообразии ${\displaystyle (M,\;g)}$ называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle Y}$ , ${\displaystyle Z}$ верно
        ${\displaystyle X(g(Y,\;Z))=g(\nabla _{X}Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla _{X}Z)}$ ,
   где ${\displaystyle X(g(Y,\;Z))}$ обозначает производную ${\displaystyle g(Y,Z)}$ в направлении ${\displaystyle X}$ .
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$
        ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,\;Y]=0}$ ,
   где ${\displaystyle [X,\;Y]}$ скобки Ли векторных полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ .

Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Свойства

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

См. также

• Метрическая связность
• Параллельное перенесение
• Символы Кристоффеля

Литература

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию, — СПб: Наука, 1994. 318 с.

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.