WikiSort.ru - Не сортированное

Волновое число
${\displaystyle \ k}$
Размерность	L−1
Единицы измерения
СИ	м−1
СГС	см−1
Примечания
скаляр

Волново́е число́ (также^[1] называемое пространственной частотой ^[2]) — это отношение 2π радиан к длине волны:

${\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }},}$

пространственный аналог круговой частоты^[3].

Обычное обозначение^[4]: ${\displaystyle k}$ .

Определение: волновым числом k называется быстрота роста фазы волны φ по пространственной координате^[5]:

${\displaystyle k\equiv {\frac {d\varphi }{dx}}.}$

В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак минус, если волна распространяется в отрицательном направлении (против оси). В многомерном — это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определенное выбранное направление.

Поскольку в большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или по крайней мере почти монохроматической), производную в определении можно (для этих самых распространенных случаев) заменить на выражение с конечными разностями:

${\displaystyle k\equiv {\frac {\Delta \varphi }{\Delta x}}.}$

Исходя из этого, можно получить разные более-менее удобные формулировки^[6]:

• Волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра).
• Волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на 2π метров.
• Волновое число равно числу радиан волны на отрезке в 1 метр.

В спектроскопии волновым числом часто называют просто величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см⁻¹). Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя 2π.

Единица измерения — рад·м⁻¹, физическая размерность м⁻¹ (в системе СГС: см⁻¹).

Используется в физике, математике^[7] (преобразование Фурье) и таких приложениях, как обработка изображений.

Основные соотношения

${\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\varphi }}}={\frac {\omega }{v_{\varphi }}},}$

где:

λ —  длина волны,

${\displaystyle \nu }$ (греческая буква «ню») — частота,

${\displaystyle v}$ _φ — фазовая скорость волны,

ω — угловая частота.

Для монохроматической бегущей волны можно записать:

${\displaystyle \varphi =kx-\omega t}$  — для фазы;

${\displaystyle u(x,t)=const\cdot \mathrm {cos} (kx-\omega t+\varphi _{0})}$  — для самой волны;

или

${\displaystyle u(x,t)=const\cdot e^{i(kx-\omega t)}}$

 — для комплексной волны; здесь ${\displaystyle \varphi _{0}}$ может быть спрятано в ${\displaystyle const}$ ,

для монохроматической стоячей волны:

${\displaystyle u(x,t)=const\cdot \mathrm {cos} (k\cdot (x-x_{0}))\mathrm {cos} (\omega \cdot (t-t_{0})).}$

Замечания

Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (то есть через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна вообще говоря содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближенно быть описаны как волны с определенным волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа).

Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, то есть волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями.

В сущности, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с x, даже относительно быстро, это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида:

${\displaystyle u(x,t)=e^{i\int (kdx-\omega dt)},}$

для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.

Волновое число в квантовой физике

В квантовой физике связывается с компонентой импульса по данному направлению:

${\displaystyle p_{x}=\hbar k_{x},}$

где

p_x —  компонента импульса по направлению x (для одномерной системы — полный импульс),

k_x —  волновое число (компонента волнового вектора) по направлению x (для одномерной системы — просто волновое число),

ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).

Поскольку константа Планка — универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать ħ = 1. Тогда

${\displaystyle p_{x}=k_{x},}$

то есть в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.

То же можно сказать для полного импульса и волнового числа без указания направления абсолютной величины волнового вектора):

${\displaystyle p=\hbar k,}$

а в единицах ħ = 1:

${\displaystyle p=k}$

В частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближенно — для ультрарелятивистских частиц) можно также написать:

${\displaystyle k={\frac {E}{\hbar c}},}$

где

E — энергия,

ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака),

c — скорость света в вакууме.

См. также

• Волновой вектор

Примечания

Для улучшения этой статьи по физике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.